Question

19．如图所示，在△ABC中，G为BC上一动点，∠C=45°，∠DBF=∠DEF，∠BDG=∠BGD，DG平分∠BDE．
（1）如图①，当G点在BF上时，求证：BD∥EF；
（2）如图②，当G在CG上时，连接GE，若∠DEG=3∠FEG，∠DGE=60°，求线段GE与AC的位置关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）求出∠EDG=∠BGD，根据平行线的判定得出DE∥BC，根据平行线的性质得出∠B+∠BDE=180°，求出∠DEF+∠BDE=180°，根据平行线的判定得出即可；
（2）设∠FEG=x°，∠DEG=3x°，∠DEF=2x°=∠DBG，根据平行线的性质求出∠BDE=180°-2x°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠BDG=∠EDG=90°-x°，根据平行线的性质求出90-x+60+3x=180，求出x，即可求出答案．

解答 （1）证明：∵DG平分∠BDE，
∴∠BDG=∠EDG，
∵∠BDG=∠BGD，
∴∠EDG=∠BGD，
∴DE∥BC，
∴∠B+∠BDE=180°，
∵∠DBF=∠DEF，
∴∠DEF+∠BDE=180°，
∴BD∥EF；

（2）GE⊥AC，
证明：∵∠DEG=3∠FEG，设∠FEG=x°，
∴∠DEG=3x°，∠DEF=2x°=∠DBG，
∵BD∥EF，
∴∠BDE+∠DEF=180°，
∴∠BDE=180°-2x°，
由（1）可知∠BDG=∠EDG=∠BGD=$\frac{1}{2}$（180°-∠DBG）=90°-x°，
∵DE∥BG，
∴∠DEG+∠BGE=180°，
又∵∠DGE=60°，
即90-x+60+3x=180，
∴∠FEG=x=15°，∠DEG=45°，
∵DE∥BC，
∴∠C=∠AED=45°，
∴∠AEG=90°，
∴GE⊥AC．

点评 本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，能综合运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大．