Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作半圆O交AC于点D，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是半圆O的切线；
（2）若∠BAC=30°，DE=3，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，OE，由AB为圆的直径得到△BCD为直角三角形，再由E为斜边BC的中点，得到DE=BE=DC，再由OB=OD，OE为公共边，利用SSS得到△OBE与△ODE全等，由全等三角形的对应角相等得到DE与OD垂直，即可得证；
（2）在直角三角形ABC中，由∠BAC=30°，得到BC为AC的一半，根据BC=2DE求出BC的长，确定出AC的长，再由∠C=60°，DE=EC得到△EDC为等边三角形，可得出DC的长，由AC-CD即可求出AD的长．

解答 （1）证明：连接OD、OE、BD，如图所示：
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴DE=BE，
在△OBE和△ODE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OD}\\{OE=OE}\\{BE=DE}\end{array}\right.$，
∴△OBE≌△ODE（SSS），
∴∠ODE=∠ABC=90°，
则DE为圆O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AC，
∵BC=2DE=4，
∴AC=8，
又∵∠C=60°，DE=CE，
∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2，
则AD=AC-DC=6．

点评 本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解决问题的关键．