【题目】如图,已知矩形OABC中,OA=3,AB=4,双曲线y= (k>0)与矩形两边AB、BC分别交于D、E,且BD=2AD
(1)求k的值和点E的坐标;
(2)点P是线段OC上的一个动点,是否存在点P,使∠APE=90°?若存在,求出此时点P的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:∵AB=4,BD=2AD,
∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4,
∴AD= ,
又∵OA=3,
∴D( ,3),
∵点D在双曲线y= 上,
∴k= ×3=4;
∵四边形OABC为矩形,
∴AB=OC=4,
∴点E的横坐标为4.
把x=4代入y= 中,得y=1,
∴E(4,1);
(2)
解:(2)假设存在要求的点P坐标为(m,0),OP=m,CP=4﹣m.
∵∠APE=90°,
∴∠APO+∠EPC=90°,
又∵∠APO+∠OAP=90°,
∴∠EPC=∠OAP,
又∵∠AOP=∠PCE=90°,
∴△AOP∽△PCE,
∴ ,
∴ ,
解得:m=1或m=3,
∴存在要求的点P,坐标为(1,0)或(3,0).
【解析】(1)由矩形OABC中,AB=4,BD=2AD,可得3AD=4,即可求得AD的长,然后求得点D的坐标,即可求得k的值,继而求得点E的坐标;(2)首先假设存在要求的点P坐标为(m,0),OP=m,CP=4﹣m,由∠APE=90°,易证得△AOP∽△PCE,然后由相似三角形的对应边成比例,求得m的值,继而求得此时点P的坐标.
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【题目】如图(1),是两个全等的直角三角形(直角边分别为a,b,斜边为c).
(1)用这样的两个三角形构造成如图(2)的图形(B,E,C三点在一条直线上),利用这个图形,求证:a2+b2=c2
(2)当a=1,b=2时,将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中(如图(3)),使直角顶点与原点重合,两直角边a,b分别与x轴、y轴重合.
请在坐标轴上找一点C,使△ABC为等腰三角形.
写出一个满足条件的在x轴上的点的坐标: ;
写出一个满足条件的在y轴上的点的坐标: ,这样的点有 个.
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【题目】一组对边平行,另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形.
(1)类比研究
我们在学完平行四边形后,知道可以从对称性、边、角和对角线四个角度对四边形进行研究,完成表.
四边形 | 对称性 | 边 | 角 | 对角线 |
平行 | . | 两组对边分别平行,两组对边分别相等. | 两组对角 | 对角线互相平分. |
等腰 | 轴对称图形,过平行的一组对边中点的直线是它的对称轴. | 一组对边平行,另一组对边相等. | . | . |
(2)演绎论证
证明等腰梯形有关角和对角线的性质.
已知:在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,AC、BD是对角线.
求证:
证明:
揭示关系
我们可以用图来揭示三角形和一些特殊三角形之间的关系.
(3)请用类似的方法揭示四边形、对角线相等的四边形、平行四边形、矩形以及等腰梯形之间的关系.
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【题目】如图,正方形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,AF=DE,AF和DE相交于点G.
(1)观察图形,写出图中所有与∠AED相等的角.
(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角,并加以证明.
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【题目】已知边长为m的正方形面积为12,则下列关于m的说法中,错误的是( ) ①m是无理数;
②m是方程m2﹣12=0的解;
③m满足不等式组 ;
④m是12的算术平方根.
A.①②
B.①③
C.③
D.①②④
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【题目】2017年5月14日至15日,“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行.本届论坛期间,中国同30多个国家签署经贸合作协议.某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区.已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同,3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元.
(1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元?
(2)若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元,则至少销售甲种商品多少万件?
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