Question

12．已知CA=CB，CD=CE，B、C、E在同一条直线上，∠BCA=∠DCE=60°．
（1）找出图中全等的全等三角形并加以证明；
（2）求∠DHE的度数；
（3）连接CH，求证：∠MHC=∠NHC；
（4）连接AD，若S_△AHD=5，求S_{四边形MHNC}．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到∠ACE=∠BCD=120°，根据全等三角形的判定得到△ACE≌△BCD，由全等三角形的性质得到∠CAE=∠CBM，证得△ACN≌△BCM，同理△CEN≌△CDM；
（2）由全等三角形的性质得到∠CDM=∠CEN，推出C，E，D，H四点共圆，根据圆周角定理即可得到结论；
（3）连接CH，过C作CP⊥AE于E，CQ⊥BD于Q，推出△CQD≌△ECN，根据全等三角形的性质得到CQ=CN，由角平分线的性质得到结论；
（4）连接AD，由∠ACB=∠DEC=60°，得到AC∥DE，根据同底等高的三角形的面积相等得到S_△ADE=S_△CDE，得到S_△ADN=S_△CEN，推出S_△ADN-S_△DHN=S_△CDM-S_△DHN，即可得到结论．

解答 解：（1）∵CA=CB，CD=CE，B、C、E在同一条直线上，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠BCD=120°，
在△ACE与△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBM，
∵∠ACN=∠BCM=60°，
在△ACN与△BCN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAN=∠CBM}\\{AC=BC}\\{∠ACN=∠BCM}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△BCM，
同理△CEN≌△CDM；
∴图中全等的全等三角形有△ACE≌△BCD，△ACN≌△BCM，△CEN≌△CDM；

（2）∵△CDM≌△CEN，
∴∠CDM=∠CEN，
∴C，E，D，H四点共圆，
∴∠DHE=∠DCE=60°；

（3）连接CH，过C作CP⊥AE于E，CQ⊥BD于Q，
∴∠CQD=∠CPE=90°，
在△CQD与△ECP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CQD=∠CPE}\\{∠QDC=∠PEC}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△CQD≌△ECN，
∴CQ=CN，
∴CH平分∠MHN，
∴∠MHC=∠NHC；

（4）连接AD，∵∠ACB=∠DEC=60°，
∴AC∥DE，
∴S_△ADE=S_△CDE，∴S_△ADN=S_△CEN，
∵△DMC≌△CEN，
∴S_△ADN=S_△CDM，
∴S_△ADN-S_△DHN=S_△CDM-S_△DHN，
即S_{四边形MHNC}=S_△AHD=5．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，角平分线的性质，平行线的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．