Question

如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一定点，AC=6，BC=8，P为⊙O上一动点，过C作CQ⊥CP，交PB延长线于Q．

（1）若P点与C点关于AB对称，如图1，求CP的长；
（2）当P点运动到何处时，△PCQ的内心在线段CB上，请利用图2说明理由并求出此时四边形APBC的面积．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：计算题

分析：（1）如图1，根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得到∠ACB=90°，则根据勾股定理可计算出AB=10，再利用对称的性质得CP⊥AB，CH=PH，然后根据面积法可计算出CH=

24

5

，则PC=2CH=

48

5

；
（2）若点P为半圆AB的中点，即

PA

=

PB

，根据圆周角定理得到∠ACP=∠BCP=∠BCP=45°，而∠PCQ=90°，则得到CB平分∠PCQ，于是根据内心的性质得△PCQ的内心在线段CB上；再证明△APB为等腰直角三角形得到PA=PB=

2

2

AB=5

2

，然后利用四边形APBC的面积=S_△ABC+S_△ABP进行计算即可．

解答：解：（1）如图1，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∵AC=6，BC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=10，
∵P点与C点关于AB对称，
∴CP⊥AB，CH=PH，
∵

1

2

CH•AB=

1

2

AC•BC，
∴CH=

6×8

10

=

24

5

，
∴PC=2CH=

48

5

；
（2）当P点运动到半圆AB的中点时，△PCQ的内心在线段CB上，如图2，
∵点P为半圆AB的中点，
∴

PA

=

PB

，
∴∠ACP=∠BCP，
而∠ACB=90°，
∴∠BCP=45°，
∵CQ⊥CP，
∴∠PCQ=90°，
∴CB平分∠PCQ，
∴△PCQ的内心在线段CB上；
∵∠PAB=∠BCP=45°，∠PBA=∠ACP=45°，
∴△APB为等腰直角三角形，
∴PA=PB=

2

2

AB=5

2

，
∴四边形APBC的面积=S_△ABC+S_△ABP
=

1

2

•6•8+

1

2

•5

2

•5

2

=49．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了圆周角定理和勾股定理．