Question

【探索研究】我们可借鉴以前研究函数的经验，探索函数y=x+

1

x

（x＞0）的图象性质．
（1）根据下列表格，画出上述函数的图象
（2）观察图象，写出该函数的一个性质

x	…	1 4	1 3	1 2	1	2	3	4	…
y	…	17 4	10 3	5 2	2	5 2	10 3	17 4	…

【阅读理解】当x＞0时，y=x+

1

x

=（

x

）²+（

1 x

）²=（

x

）²+（

1 x

）²-2

x

•

1 x

+2

x

•

1 x

=（

x

-

1 x

）²+2；
（3）由此可见，当x=

 

时，函数y=x+

1

x

（x＞0）的最小值为

 

；
【变形应用】
（4）求函数y=x+

1

x+1

（x＞-1）的最小值，并指出y取得该最小值时相应的x的值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：数形结合

分析：（1）只需根据表格描点、连线，即可画出函数的图象；
（2）结合图象，可从函数的增减性、最值性等角度得出函数的性质；
（3）依据“当a=0时，a²取到最小值0”即可解决问题；
（4）可先转化为（3）中的函数形式，然后再借鉴（3）中解决问题的方法，即可解决问题．

解答：解：（1）函数y=x+

1

x

（x＞0）的图象如下图．
              

（2）函数y=x+

1

x

（x＞0）的性质：
当0＜x＜1时，y随着x的增加而减小；
当x＞1时，y随着x的增加而增大；
当x=1时，y取最小值为2；
…
（只需写出一个即可）                               

（3）当x＞0时，y=x+

1

x

=（

x

-

1 x

）²+2，
∴当（

x

-

1 x

）²=0即x=1时，y有最小值为2，
故答案为：1、2；                                  

（4）∵x＞-1，∴x+1＞0，
∴y=x+

1

x+1

=x+1+

1

x+1

-1
=（

x+1

-

1

x+1

）²+1，
∴当（

x+1

-

1

x+1

）²=0即x=0时，y有最小值为1．

点评：本题不仅考查函数图象的画法、函数的性质等知识，还突出了对数形结合思想、转化思想、配方法等数学思想方法的考查，是考查学生能力的一道好题．