Question

阅读理解并应用．
如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．即S_△ABC=

1

2

ah
解答下列问题：
如图2，抛物线顶点坐标为点C（-1，-4），交x轴于点A（-3，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）点P是抛物线（在第三象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S_△CAB；
（3）在直线AB的下方是否存在一点P，使S_△PAB的面积最大？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据题意，可设出抛物线顶点解析式，代入A点的坐标，即可得出抛物线的解析式；利用抛物线的解析式，得出B点的坐标，结合A点的坐标，即可得出直线AB的解析式；
（2）当P运动到C点时，此时铅直高为点C纵坐标；又可得出AB的距离，即可得出△CAB的面积；
（3）假设存在符合条件的点P，设点P的横坐标是x，△PAB的铅垂高为h，利用三角形的面积公式列出S_△PAB=-

3

2

x²-

9

2

x，由二次函数最值的求法进行解答即可．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y₁=a（x+1）²-4．
把A（-3，0）代入解析式，解得a=1．
∴抛物线的表达式为y₁=（x+1）²-4=x²+2x-3；
∴B点的坐标为（0，-3）
设直线AB的表达式为y₂=kx+b（k≠0）．
把A（-3，0），B（0，-3）待入，得

-3k+b=0 b=-3

，
解得k=-1，b=-3．
∴直线AB的表达式为y₂=-x-3；

（2）因为点C坐标为（-1，-4），
∴当x=-1时，y₁=-4，y₂=-2．
∴CD=-2-（-4）=2．
S_△CAB=

1

2

OA•CD=

1

2

×3×2=3．

（3）假设存在符合条件的点P，设点P的横坐标是x，△PAB的铅垂高为h，
则h=y₂-y₁=（-x-3）-（x²+2x-3）=-x²-3x
由S_△PAB=

1

2

×h×OA=

1

2

×（-x²-3x）×3=-

3

2

x²-

9

2

x
∵a＜0，
∴当x=-

3

2

时△PAB的面积最大，此时 S_△PAB=

27

8

．
把x=-

3

2

代入y₁=x²+2x-3，
解得P点坐标为（-

3

2

，-

15

4

）．

点评：本题主要考查了二次函数和一次函数的综合应用，以及三角形面积等知识点，有一定的综合性和难度，学生在做题目时要认真分析和理解题目所给条件，即可完成题目．