Question

20．如图，已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于A、B两点，对称轴为直线x=-$\frac{3}{2}$，直线AD交抛物线于点D（2，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）已知点M为第三象限内抛物线上的一动点，当点M在什么位置时四边形AMCO的面积最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）首先根据抛物线的对称轴公式求得b的值，然后代入D的坐标求得c的值，进而得到函数解析式；
（2）在二次函数解析式中令y=0，即可求得函数与x轴交点的横坐标，则A和B的坐标即可求得；
（3）与AC平行，且与抛物线在第三象限只有一个公共点的直线，与抛物线的交点就是M，首先求得AC的解析式，然后设出满足条件的解析式，利用判别式求得．

解答 解：（1）根据对称轴可得-$\frac{b}{2×\frac{1}{2}}$=-$\frac{3}{2}$，
则b=$\frac{3}{2}$，
把（2，3）代入y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+c得：2+3+c=3，
解得：c=-2．
则抛物线的解析式是y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2；
（2）令y=0，则$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2=0，
解得：x=-4或1，
则A的坐标是（-4，0），B的坐标是（1，0）；
（3）$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2=0中令x=0，则y=-2，
则C的坐标是（0，-2）．
设AC的解析式是y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
则直线AC的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x-2．
设与AC平行，且与抛物线在第三象限只有一个公共点的直线的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+b，
则-$\frac{1}{2}$x+b=$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x-2，
即x²+4x-（4+2b）=0，
△=16+4（4+2b）=0，
解得：b=-4．
则x=-2．
把x=-2代入y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2得y=-3．
则M的坐标是（-2，-3）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确根据条件确定M的位置是关键．