Question

【题目】如图1，在四边形中，，点在边上，平分，且.

（1）求证：；

（2）如图2，已知交边于点，交边的延长线于点，且平分. 若，试比较与的大小，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2），理由详见解析.

【解析】

（1）根据角平分线的定义可得∠CDE=∠ADE，再结合已知条件可得∠CDE=∠DEA，从而得出CD∥AB，根据平行线的性质以及已知条件可得∠B+∠A=180°，从而证得AD∥BC；
（2）由垂直的定义可得∠BGF=90°，由AD∥BC可得∠ADF=∠BGF=90°，由CD∥AB可得∠CDF=∠F，设∠EDB=∠BDF=x°，∠CDF=∠F=y°，则∠EDF=2x°，∠ADE=∠EDC=（2x+y）°，由∠ADF=∠ADE+∠EDF，得2x+y+2x=90，得出y=90-4x，∠F=∠EDF=y°-2x°=90°-6x°，再根据∠BDC＜45°得出x+y＜45°，求出x的取值范围，进而比较出∠F与∠EDF的大小．

（1）证明：

∵平分，

∴.

又∵，

∴.

∴

∴

又∵，

∴.

∴.

（2）解：

∵，

∴.

又∵

∴

∵，

∴.

设，

则，

由，得

∴

∴

∵

∴

，

解得，

∴.

∴

∴.