Question

如图，在正方形ABCD中，G是BC上任一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG，垂足为E，CF⊥DG交DG于点F．
（1）请你猜想线段AE、CF和EF间的关系如何，只写结论，不写过程．
（2）当点G在CB延长线上时，请猜想AE、CF和EF间的关系如何，并证明你的想法．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用正方形的特性可知AD=DC，∠ADC=90°，再结合题中所给的有关角的等量关系可证明△AED≌△DFC，根据全等三角形的性质求得AE=DF，DE=CF，由于DF+EF=DE，即可证得结论；
（2）利用正方形的特性可知AD=DC，∠ADC=90°，再结合题中所给的有关角的等量关系可证明△AED≌△DFC，根据全等三角形的性质求得AE=DF，DE=CF，由于DF+EF=DE，即可证得结论．

解答：（1）答：AE+EF=CF．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°．
又∵AE⊥DG，CF⊥GD，
∴∠AED=∠DFC=90°，
∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°，
∴∠EAD=∠FDC．
在△AED与△DFC中

∠AED=∠DFC=90° ∠EAD=∠FDC AD=DC

∴△AED≌△DFC（AAS）．
∴AE=DF，DE=CF
∵DF+EF=DE，
∴AE+EF=CF；
（2）答：AE+EF=CF；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°．
又∵AE⊥DG，CF⊥GD，
∴∠AED=∠DFC=90°，
∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°，
∴∠EAD=∠FDC．
在△AED与△DFC中

∠AED=∠DFC=90° ∠EAD=∠FDC AD=DC

∴△AED≌△DFC（AAS）．
∴AE=DF，DE=CF
∵DF+EF=DE，
∴AE+EF=CF．

点评：考查三角形全等的判定及正方形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．