Question

如图，在平面直角坐标系中，过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线DE于A、B两点，点D的坐标是（6，0），点E的坐标是（0，6）．
（1）求直线DE的解析式和点A的坐标，若反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象经过点A，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点B是否在这个反比例函数的图象上；
（2）若反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象与△ABC有公共点，求k的取值范围．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）设直线DE的解析式为y=kx+b，将D与E坐标代入求出k与b的值，确定出解析式，根据C坐标求出A的坐标，即可确定出反比例解析式；将B代入计算判断即可；
（2）根据反比例函数比例系数k的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k最小，设与线段AB相交于点（x，-x+6）时k值最大，即可确定出k的范围．

解答：解：（1）设直线DE的解析式为y=kx+b，
∵点D（6，0）和E（0，6）在该直线上，
∴

b=6 6k+b=0

，
解得：

k=-1 b=6

，
∴直线DE的解析式为y=-x+6，
∵AC∥x轴，点A与点C（1，2）纵坐标相等，
∴当y=2时，-x+6=2，
解得：x=4，
∴点A的坐标为（4，2），
∵反比例函数y=

k

x

的图象经过点A，
∴k=4×2=8，
∴反比例函数的解析式为y=

8

x

，
∵BC∥y轴，点B与点C（1，2）横坐标相等，
将x=1代入y=-x+6得y=5，
∴点B坐标为（1，5），而1×5=5≠8，
∴点B不在该反比例函数的图象上；
（2）根据反比例函数比例系数k的几何意义，
当反比例函数与点C相交时，k=1×2=2最小，设与线段AB相交于点（x，-x+6）时k值最大，
则k=x（-x+6）=-x²+6x=-（x-3）²+9，
∵1≤x≤4，
∴当x=3时，k值最大为9，此时交点坐标为（3，3），
∴k的取值范围是2≤k≤9．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求反比例函数解析式，坐标与图形性质，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．