Question

14．已知关于x的方程x²+mx+m-2=0．
（1）若该方程的两根x₁，x₂满足x₁+x₂-x₁•x₂=-2，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

Answer 1

分析 （1）由根与系数的关系可得x₁+x₂=-m，x₁x₂=-2，又x₁+x₂-x₁•x₂=-2，将x₁+x₂=-m，x₁x₂=-2代入x₁+x₂-x₁•x₂=-2，得到方程，解方程即可求出m的值；
（2）求出△的值，再比较出其大小即可．

解答 解：（1）∵方程x²+mx+m-2=0的两根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-m，x₁x₂=-2，
∵x₁+x₂-x₁•x₂=-2，
∴-m+2=-2，
∴m=4；
（2）∵△=m²-4（m-2）=（m-2）²+4＞0，
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

点评 本题考查了根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，同时考查了根的判别式，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键．