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【题目】如图,已知抛物线>0)与轴交于A,B两点(A点在B点的左边),与轴交于点C。

(1)如图1,若△ABC为直角三角形,求的值;

(2)如图1,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求P点的坐标;

(3)如图2,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交轴交于点E,若AE:ED=1:4,求的值.

【答案】(1);(2)点P的坐标为 ;(3).

【解析】

(1)利用三角形相似可求AOOB,再由一元二次方程根与系数关系求AOOB构造方程求n;

(2)求出B、C坐标,设出点Q坐标,利用平行四边形对角线互相平分性质,分类讨论点P坐标,分别代入抛物线解析式,求出Q点坐标;

(3)设出点D坐标(a,b),利用相似表示OA,再由一元二次方程根与系数关系表示OB,得到点B坐标,进而找到ba关系,代入抛物线求a、n即可.

(1)若ABC为直角三角形

∴△AOC∽△COB

OC2=AOOB

y=0时,0=x2-x-n

由一元二次方程根与系数关系

-OAOB=OC2

n2==2n

解得n=0(舍去)或n=2

∴抛物线解析式为y=

(2)由(1)当=0

解得x1=-1,x2=4

OA=1,OB=4

B(4,0),C(0,-2)

∵抛物线对称轴为直线x=-

∴设点Q坐标为(,b)

由平行四边形性质可知

BQ、CP为平行四边形对角线时,点P坐标为(,b+2)

代入y=x2-x-2

解得b=P点坐标为(

CQ、PB为为平行四边形对角线时,点P坐标为(-,b-2)

代入y=x2-x-2

解得b=P坐标为(-

综上点P坐标为(),(-);

(3)设点D坐标为(a,b)

AE:ED=1:4

OE=b,OA=a

ADAB

∴△AEO∽△BCO

OC=n

OB=

由一元二次方程根与系数关系得,

b=a2

将点A(-a,0),D(a,a2)代入y=x2-x-n

解得a=6a=0(舍去)

n= .

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