【题目】如图,已知抛物线(>0)与轴交于A,B两点(A点在B点的左边),与轴交于点C。
(1)如图1,若△ABC为直角三角形,求的值;
(2)如图1,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求P点的坐标;
(3)如图2,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交轴交于点E,若AE:ED=1:4,求的值.
【答案】(1);(2)点P的坐标为 ;(3).
【解析】
(1)利用三角形相似可求AOOB,再由一元二次方程根与系数关系求AOOB构造方程求n;
(2)求出B、C坐标,设出点Q坐标,利用平行四边形对角线互相平分性质,分类讨论点P坐标,分别代入抛物线解析式,求出Q点坐标;
(3)设出点D坐标(a,b),利用相似表示OA,再由一元二次方程根与系数关系表示OB,得到点B坐标,进而找到b与a关系,代入抛物线求a、n即可.
(1)若△ABC为直角三角形
∴△AOC∽△COB
∴OC2=AOOB
当y=0时,0=x2-x-n
由一元二次方程根与系数关系
-OAOB=OC2
n2==2n
解得n=0(舍去)或n=2
∴抛物线解析式为y=;
(2)由(1)当=0时
解得x1=-1,x2=4
∴OA=1,OB=4
∴B(4,0),C(0,-2)
∵抛物线对称轴为直线x=-=
∴设点Q坐标为(,b)
由平行四边形性质可知
当BQ、CP为平行四边形对角线时,点P坐标为(,b+2)
代入y=x2-x-2
解得b=,则P点坐标为(,)
当CQ、PB为为平行四边形对角线时,点P坐标为(-,b-2)
代入y=x2-x-2
解得b=,则P坐标为(-,)
综上点P坐标为(,),(-,);
(3)设点D坐标为(a,b)
∵AE:ED=1:4
则OE=b,OA=a
∵AD∥AB
∴△AEO∽△BCO
∵OC=n
∴
∴OB=
由一元二次方程根与系数关系得,
∴b=a2
将点A(-a,0),D(a,a2)代入y=x2-x-n
解得a=6或a=0(舍去)
则n= .
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【题目】温州市处于东南沿海,夏季经常遭受台风袭击,一次,温州气象局测得台风中心在温州市的正西方向300千米的处,以每小时千米的速度向东偏南的方向移动,距台风中心200千米的范围是受台风严重影响的区域,试问:
(1)台风中心在移动过程中离温州市最近距离是多少千米?
(2)温州市是否受台风影响?若不会受到,请说明理由;若会受到,求出温州市受台风严重影响的时间.
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【题目】(1)如图1,中,,直线过点,点在直线同侧,,,垂足分别为,吗?请说明理由;
(2)如图2,,且,,且,利用(1)中的结论,请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积= ;
(3)如图3,等边中,,点在上,且,动点从点沿射线以速度运动,连结,将线段绕点逆时针旋转得到线段.请分别求出下列情况点的运动时间.
①(直接写出答案);
②点恰好落在射线上(画出图形,并写出解题过程).
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【题目】如图,在下列条件中,不能证明△ABD≌△ACD的是( ).
A.BD=DC, AB=AC B.∠ADB=∠ADC,BD=DC
C.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD D. ∠B=∠C,BD=DC
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【题目】尺规作图,不写作法,保留作图痕迹
(1)如图1,若△ABC与△DEF关于直线l对称,请作出直线l;
(2)如图2,在矩形ABCD中,已知点B,F分别在AD和AB上,请在边BC上作出点G,在边CD作出点H,使得四边形FEGH的周长最小.
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【题目】20、如图,直角坐标系中,△ABC的顶点都在网格点上,其中,C点坐标为(1,2).
(1)填空:点A关于X轴对称的点的坐标是 ___,点B关于Y轴对称的点的坐标是 ;
(2)将△ABC先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到△A′B′C′.请写出△A′B′C′的三个顶点坐标;
(3)求△ABC的面积.
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【题目】一个数值转换器,如图所示:
(1)当输入的x为16时.输出的y值是 ;
(2)若输入有效的x值后,始终输不出y值,请写出所有满足要求的x的值,并说明你的理由;
(3)若输出的y是,请写出两个满足要求的x值: .
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