Question

【题目】如图，A（12，0），B（0，9）分别是平面直解坐标系xOy坐标轴上的点，经过点O且与AB相切的动圆与x轴、y轴分别相交与点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（　　）

A.B.10C.7.2D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接OF，OD，则有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABO是直角三角形，FO+FD=PQ，由三角形的三边关系知，FO+FD≥OD；只有当点F、O、D共线时，FO+FD=PQ有最小值，最小值为OD的长，即当点F在直角三角形ABO的斜边AB的高OD上时，PQ=OD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时OD＝＝＝7.2.

解：如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、OF、OD，则FD⊥AB．

∵A（12，0）、B（0，9），

∴AO＝12，BO＝9，

∴AB＝15，

∴∠AOB＝90°，

∴PQ是圆F的直径，

∴FO+FD＝PQ，

∴FO+FD≥OD，

当点F、O、D共线时，PQ有最小值，此时PQ＝OD，

∴OD＝＝＝7.2．

故选：C．