Question

10．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点C，在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠BCO？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 先利用抛物线与x轴的交点问题，通过解方程$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=0得到A（-1，0），B（4，0），再求出C（-2，0），接着利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-2x-2，再证明△AOC∽△COB得到∠BCO=∠CAO，所以过B作BP∥AC交抛物线于P，满足∠PBO=∠BCO，然后确定直线与抛物线的交点坐标可确定此时P点坐标；再利用对称性可确定当点P与点C关于直线x=$\frac{3}{2}$对称时，满足∠PBO=∠BCO，易得此时P点坐标为（3，-2）．

解答 解：存在．
当y=0时，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=0，解得x₁=-1，x₂=4，则A（-1，0），B（4，0），
当x=0时，y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=-2，则C（-2，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（-1，0），C（0，-2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
所以直线AC的解析式为y=-2x-2；
∵$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OB}{OC}$，
而∠AOC=∠COB，
∴△AOC∽△COB，
∴∠BCO=∠CAO，
过B作BP∥AC交抛物线于P，则∠PBO=∠CAB，则∠PBO=∠BCO，
设此时BP的解析式为y=-2x+t，
把B（4，0）代入得-8+t=0，解得t=8，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2}\\{y=-2x+8}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-5}\\{y=18}\end{array}\right.$，
∴此时P点坐标为（-5，18）；
抛物线的对称轴为直线x=$\frac{3}{2}$，
当点P与点C关于直线x=$\frac{3}{2}$对称时，∠CAO=∠PBO，则∠PBO=∠BCO，
∴此时P点坐标为（3，-2），
综上所述，满足条件的P点坐标为（-5，18）或（3，-2）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了相似三角形的判定与性质．