Question

已知在平行四边形ABCD中，点O是AC，BD的交点，∠AOB=45°，AB=4，BC=8，求平行四边形ABCD的面积．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：

分析：过A作AE垂直于DB，垂足是E，过C作CF垂直于DB．垂足是F，由条件可得△AEO和△CFO是全等的等腰三角形，设AE=EO=OF=CF=x，在Rt△ABE和Rt△BFC中，可用x表示出BD和CF的积，从而可以求得△BDC的面积，进一步可求得平行四边形ABCD的面积．

解答：解：
过A作AE垂直于DB，垂足是E，过C作CF垂直于DB．垂足是F，如图，
在△AEO和△CFO中

∠AEO=∠CFO ∠AOE=∠COF AO=CO

∴△AEO≌△CFO（AAS），
∵∠AOB=45°，
∴这两个三角形是等腰直角三角形，
设AE=EO=OF=CF=x，
∵BO=DO，
∴BE=FD，
在Rt△ABE中，AB=4，AE=x，
∴BE=

16-x2

，
在Rt△BFC中，BF=2x+

16-x2

，CF=x，BC=8，
∴（2x+

16-x2

）²+x²=8²，
∴x²+x

16-x2

=12，
而BD=BF+DF=BF+BE=2x+2

16-x2

∴S_△BCD=

1

2

BD•CF=

1

2

（2x+2

16-x2

）=x²+x

16-x2

=12，
又由平行四边形的性质可知S_△DAB=S_△BCD，
∴S_{四边形ABCD}=2S_△BCD=24．

点评：本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质，利用等腰三角形的性质及勾股定理表示出BD的长，且求得BD与CF的积为常数是解题的关键．