Question

【题目】在如图所示的平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B，其对称轴是．

（1）求抛物线解析式．

（2）抛物线上是否存在点M（点m不与点C重合），使△MAB与△ABC的面积相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，M（﹣3，2）或（，﹣2）或（，﹣2）．

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可得；

（2）设△ABM的边AB上的高为h，分情况讨论即可得.

试题解析：（1）y=x+2，

当x=0时，y=2，

当y=0时，x=﹣4，

即A点的坐标为（﹣4，0），C点的坐标为（0，2），

∵抛物线y=ax2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B，其对称轴是x=﹣，

∴，解得：a=﹣，b=﹣，c=2，

即抛物线解析式是y=﹣x2﹣x+2；

（2）存在，

理由是：设△ABM的边AB上的高为h，

∵点C的坐标为（0，2），

∴OC=2，

∵S△ABC=AB×OC=×AB×2，

∵△MAB与△ABC的面积相等，

∴AM×h=×AB×2，

∴h=2，

当点M在x轴的上方时，把y=2代入y=﹣x2﹣x+2得：x=0或x=﹣3，

∵M点和C点不重合，C的坐标为（0，2），

∴M的坐标为（﹣3，2）；

当点M在x轴的下方时，把y=﹣2代入y=﹣x2﹣x+2得：﹣2=﹣x2﹣x+2，

解得：x=或x=，

此时M的坐标为（，﹣2）或（，﹣2）；

综合上述：抛物线上存在点M（点M不与点C重合），使△MAB与△ABC的面积相等，此时点M的坐标是（﹣3，2）或（，﹣2）或（，﹣2）．