【题目】如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=a.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.
(1)求证:△COD是等边三角形;
(2)当a=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3)探究:当a为多少度时,△AOD是等腰三角形?
【答案】(1)证明见解析;(2)当α=150°时,△AOD是直角三角形,理由见解析;(3)当α的度数为125°或110°或140°时,△AOD是等腰三角形.
【解析】试题分析:(1)根据旋转的性质可得出,结合题意即可证得结论;
(2)结合(1)的结论可作出判断;
(3)找到变化中的不变量,然后利用旋转及全等的性质即可做出解答.
试题解析:(1)证明:∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转得△ADC,
∴CO=CD,∠OCD=,
∴△COD是等边三角形,
(2)当时,△AOD是直角三角形.
理由是:∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60得△ADC,
∴△BOC≌△ADC,
又∵△COD是等边三角形,
∴∠ODC=,
∴△AOD不是等腰直角三角形,即△AOD是直角三角形。
(3)①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO,
②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO.
③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD.
解得
综上所述:当α的度数为或或时,△AOD是等腰三角形。
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【题目】请从以下四个一元二次方程中任选三个,并用适当的方法解这三个方程.
(1)x2﹣x﹣1=0;
(2)(y﹣2)2﹣12=0;
(3)(1+m)2=m+1;
(4)t2﹣4t=5.
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【题目】如图,某沿海城市A接到台风警报,在该城市正南方向260 km的B处有一台风中心,沿BC方向以15 km/h的速度向C移动,已知城市A到BC的距离AD=100 km,那么台风中心经过多长时间从B点移动到D点?如果在距台风中心30 km的圆形区域内都将受到台风的影响,正在D点休息的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可以免受台风的影响?
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【题目】某校数学研究小组在研究有关二次函数及其图象性质时,发现了一个重要结论:抛物线y=ax2+2x+3(a≠0),当实数a变化时,它们的顶点都在某条直线上.
(1)请你协助探求出这条直线的表达式;
(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,你能找出它吗?并说明理由.
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【题目】已知关于x的二次函数y=x2-(2m-1)x+m2+3m+4.
(1)探究m取不同值时,二次函数y的图象与x轴的交点的个数情况;
(2)设二次函数的图象与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0),且x12+x22=5,与y轴的交点为C,它的顶点为M,求直线CM的表达式.
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【题目】五一小长假的某一天,亮亮全家上午时自驾小汽车从家里出发,到某旅游景点游玩,该小汽车离家的距离(千米)与时间(时)之间的关系如图所示,根据图像提供的有关信息,判断下列说法错误的是( )
A.景点离亮亮的家千米
B.亮亮到家的时间为时
C.小汽车返程的速度为千米/时
D.时至时,小汽车匀速行驶
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【题目】在正方形ABCD中,AC是对角线,今有较大的直角三角板,一边始终经过点B,直角顶点P在射线AC上移动,另一边交DC于点Q.
(1)如图①,当点Q在DC边上时,猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系,并加以证明;
(2)如图②,当点Q落在DC的延长线上时,猜想并写出PB与PQ满足的数量关系,并证明你的猜想.
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【题目】如图1,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,有一过点C的动圆⊙O与斜边AB相切于动点P,连接CP.
(1)当⊙O与直角边AC相切时,如图2所示,求此时⊙O的半径r的长;
(2)随着切点P的位置不同,弦CP的长也会发生变化,试求出弦CP的长的取值范围.
(3)当切点P在何处时,⊙O的半径r有最大值?试求出这个最大值.
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