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【题目】如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=a.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.

(1)求证:△COD是等边三角形;

(2)当a=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;

(3)探究:当a为多少度时,△AOD是等腰三角形?

【答案】(1)证明见解析;(2)当α=150°时,△AOD是直角三角形,理由见解析;(3)当α的度数为125°或110°或140°时,△AOD是等腰三角形.

【解析】试题分析:(1)根据旋转的性质可得出,结合题意即可证得结论;
(2)结合(1)的结论可作出判断;
(3)找到变化中的不变量,然后利用旋转及全等的性质即可做出解答.

试题解析:(1)证明:∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转得△ADC

CO=CD,OCD=

∴△COD是等边三角形,

(2)时,△AOD是直角三角形.

理由是:∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60得△ADC

∴△BOC≌△ADC

又∵△COD是等边三角形,

∴∠ODC=

∴△AOD不是等腰直角三角形,即△AOD是直角三角形。

(3)①要使AO=AD,需∠AOD=ADO

②要使OA=OD,需∠OAD=ADO.

③要使OD=AD,需∠OAD=AOD.

解得

综上所述:当α的度数为时,△AOD是等腰三角形。

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