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【题目】如图1,在RtACB中,ACB=90°,AC=3,BC=4,有一过点C的动圆O与斜边AB相切于动点P,连接CP.

(1)当O与直角边AC相切时,如图2所示,求此时O的半径r的长;

(2)随着切点P的位置不同,弦CP的长也会发生变化,试求出弦CP的长的取值范围.

(3)当切点P在何处时,O的半径r有最大值?试求出这个最大值.

【答案】(1) r=;(2) PC4;(3)

【解析】

试题分析:(1)先根据勾股定理求出AB的长,再由切线的性质求出PB的长,过P作PQBC于Q,过O作ORPC于R,根据PQAC得出PC的长,再由COR∽△CPQ即可得出r的值;

(2)根据最短PC为AB边上的高,最大PC=BC=4即可得出结论;

(3)当P与B重合时,圆最大.这时,O在BD的垂直平分线上,过O作ODBC于D,由BD=BC=2,由于AB是切线可知ABO=90°ABD+OBD=BOD+OBD=90°,故可得出ABC=BOD,根据锐角三角函数的定义即可得出结论.

试题解析:(1)如图1,

在RtACB中,ACB=90°,AC=3,BC=4,

AB=

AC、AP都是圆的,圆心在BC上,AP=AC=3,

PB=2,

过P作PQBC于Q,过O作ORPC于R,

PQAC,

PQ=,BQ=

CQ=BC-BQ=

PC=

点O是CE的中点,

CR=PC=

∴∠PCE=PCE,CRO=CQP,

∴△COR∽△CPQ,

,即,解得r=

(2)最短PC为AB边上的高,即PC==,最大PC=BC=4,

PC4;

(3)如图2,当P与B重合时,圆最大.O在BD的垂直平分线上,过O作ODBC于D,由BD=BC=2,

AB是切线,

∴∠ABO=90°

∴∠ABD+OBD=BOD+OBD=90°

∴∠ABC=BOD,

=sinBOD=sinABC=

OB=,即半径最大值为

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