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【题目】已知关于x的二次函数y=x2-(2m-1)x+m2+3m+4.

(1)探究m取不同值时,二次函数y的图象与x轴的交点的个数情况;

(2)设二次函数的图象与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0),且x12+x22=5,与y轴的交点为C,它的顶点为M,求直线CM的表达式.

【答案】答案见解析

【解析】整体分析:

(1)二次函数y的图象与x轴的交点的个数即是一元二次方程x2-(2m-1)x+m2+3m+4=0的根的个数;(2)x12+x22=5,结合根与系数的关系,确定m的值,得到点C,M的坐标,即可求出直线CM的解析式.

解:(1)根据题意得,

[-(2m-1)]2-4×1×(m2+3m+4)=-16m-15,

-16m-15>0,m<有两个交点;

-16m-15=0,m,有一个交点;

-16m-15<0,m>,无交点.

(2)由根与系数的关系得x1+x2=2m-1x1x2=m2+3m+4.

因为x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2

所以(2m-1)2-2(m2+3m+4)=5,解得m1=6,m2=-1,

因为m,所以m2=-1,

当m=-1时,二次函数的解析式为y=x2+3x+2,

则二次函数的解析式为y=x2+3x+2的图象与y轴的交点C(0,2),顶点M(,-).

设一次函数的解析式为y=kx+2,则=-,解得x=

所以yx+2.

所以直线CM的表达式为yx+2.

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