Question

3．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，E是AC的中点，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠ABC=60°，求cos∠ABE的值；
（3）求证：BF•BE=BC•BD．

Answer 1

分析 （1）连接OE、OD，可知OE是△ABC中位线即OE∥BC，从而可得∠AOE=∠DOE，进一步证明△AOE≌△DOE得∠ODE=∠0AB=90°，这样根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）由∠ABC=60°得∠AOE=60°、∠AEO=30°，设AO=OB=x，则EO=2x，利用勾股定理求得AE、BE的长即可得答案；
（3）根据同角的余角相等易知∠BAD=∠C，根据∠BFD=∠BAD得∠C=∠BFD，所以△BEC∽△BDF，根据相似三角形对应边成比例可得证．

解答 （1）证明：连接OE、OD，如图，

∵E为AC中点，O为AB中点，
∴OE∥BC，
∴∠DOE=∠ODB，∠AOE=∠ABC，
又∵OD=OB，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠AOE=∠DOE，
在△AOE和△DOE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{∠AOE=∠DOE}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△DOE（SAS），
∴∠ODE=∠0AB=90°，即OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）∵∠ABC=60°，
∴∠AOE=60°，
∴∠AEO=30°，
设AO=OB=x，则EO=2x，
∴AE=$\sqrt{E{O}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{（2x）^{2}-{x}^{2}}$=$\sqrt{3}$x，
则BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{（2x）^{2}+（\sqrt{3}x）^{2}}$=$\sqrt{7}$x，
∴cos∠ABE=$\frac{AB}{BE}$=$\frac{2x}{\sqrt{7}x}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$；

（3）连接DF，
由（1）知，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
又∵∠BAC=90°，
∴∠C+∠ABD=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵$\widehat{BD}$所对圆周角∠BFD=∠BAD，
∴∠C=∠BFD，
又∵∠CBE=∠FBD，
∴△BEC∽△BDF，
∴$\frac{BC}{BF}=\frac{BE}{BD}$，即BF•BE=BC•BD．

点评 本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线，也考查了圆周角定理和解直角三角形及相似三角形的判定与性质，熟悉相关知识点的常用作法是基础．