Question

1．已知，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a，b满足$\sqrt{a-4}$+|3-b|=0，C点是线段OB上的动点，过C作l∥x轴交AB于点D，连接OD．
①若C（0，$\frac{5}{2}$），求D点坐标．
拓展：在①基础上，若点P是l上的动点，过P作m∥y轴，交折线ODA于Q，当线段PQ=$\frac{1}{2}$时，求△OCQ的面积．
②当C点在线段OB上运动到使∠AOD=∠ADO时，作∠ABO的角平分线BM交OD于M，试求∠MOB+∠MBO的度数．
拓展：在②基础上，过A点作OD的平行线交BM于N点，求出∠ANB的度数．
③在①的基础上，是否存在点E（-2，y），使S_△ODE＞4S_△AOD？若存在，求出y的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 ①根据非负数的性质得出A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式，根据C的坐标得出D的纵坐标，代入解析式即可求得横坐标；
拓展：根据D的坐标求得OD的解析式，根据D的纵坐标和PQ=$\frac{1}{2}$，求得Q的纵坐标，代入解析式求得横坐标，然后根据三角形面积公式即可求得；
②根据平行线的性质得出∠BCD=90°，∠CDO=∠AOD，根据∠AOD=∠ADO得出∠ADC=90°+∠OBD=2∠AOD，由∠OBD=2∠MBO，得出2∠AOD=90°+2∠MBO，得出∠AOD=45°+∠MBO，由∠AOD=90°-∠MOB，得出∠MOB+∠MBO=45°；
③作EP⊥x轴于P，DQ⊥x轴于Q，根据S_△EOD=S_梯形EPQD-S_△OPE-S_△OPQ得出S_△EOD=$\frac{1}{3}$|y|+$\frac{15}{6}$，
由S_△ODE＞4S_△AOD得出$\frac{1}{3}$|y|+$\frac{15}{6}$＞4×5，解不等式即可求得．

解答 解：∵平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a，b满足$\sqrt{a-4}$+|3-b|=0，
∴a=4，b=3，
∴A（4，0），B（0，3），
设直线AB的解析式为y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{4}}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3，
①∵CD∥x轴，C（0，$\frac{5}{2}$），
∴D的纵坐标为$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{5}{2}$=-$\frac{3}{4}$x+3，解得x=$\frac{2}{3}$，
∴D（$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{2}$）；
拓展：∵D（$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{2}$），
∴直线OD：y=$\frac{15}{4}$x，
当Q点在线段OD上时，
∵P的纵坐标为$\frac{5}{2}$，PQ=$\frac{1}{2}$，
∴Q的纵坐标为2，
代入y=$\frac{15}{4}$x得，2=$\frac{15}{4}$x，解得x=$\frac{8}{15}$，
∴Q（$\frac{8}{15}$，2）；
∴S_△OCQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×$\frac{8}{15}$=$\frac{2}{3}$，
当Q点在线段AB上时，∵P的纵坐标为$\frac{5}{2}$，PQ=$\frac{1}{2}$，
∴Q的纵坐标为2，
代入y=-$\frac{3}{4}$x+3得，2=-$\frac{3}{4}$x+3，解得x=$\frac{4}{3}$，
∴Q（$\frac{4}{3}$，2）；
∴S_△OCQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$，
故△OCQ的面积为$\frac{2}{3}$或$\frac{5}{3}$；
②∵CD∥OA，
∴∠BCD=90°，∠CDO=∠AOD，
∵∠AOD=∠ADO
∴∠ADC=90°+∠OBD=2∠AOD，
∵∠OBD=2∠MBO，
∴2∠AOD=90°+2∠MBO，
∴∠AOD=45°+∠MBO，
∵∠AOD=90°-∠MOB，
∴∠MOB+∠MBO=45°；
拓展：∵AN∥OD，
∴∠ANB=∠BMD，
∵∠BMD=∠MOB+∠MBO=45°，
∴∠ANB=45°；
③作EP⊥x轴于P，DQ⊥x轴于Q，
∵A（4，0），D（$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{2}$），E（-2，y），
∴S_△AOD=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{5}{2}$=5，
∵S_△EOD=S_梯形EPQD-S_△OPE-S_△OPQ
=$\frac{1}{2}$（|y|+$\frac{5}{2}$）（2+$\frac{2}{3}$）-$\frac{1}{2}×$2×|y|-$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{5}{2}$
=$\frac{1}{3}$|y|+$\frac{15}{6}$，
∵S_△ODE＞4S_△AOD，
∴$\frac{1}{3}$|y|+$\frac{15}{6}$＞4×5，
解得|y|＞$\frac{105}{2}$，
∴y＞$\frac{105}{2}$或y＜-$\frac{105}{2}$．

点评 本题考查了坐标和图形的性质，平行线的性质，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等，③作出辅助线根据直角梯形是关键．