Question

13．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC，AB=$6\sqrt{2}$，BD=$4\sqrt{2}$，则BC=$\frac{32\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 在AC上截取AE=AB=6$\sqrt{2}$，如图所示，利用SAS得到三角形ABD与三角形AED全等，利用全等三角形对应边相等、对应角相等得到DB=DE，∠AED=∠B，利用外角性质等量代换后，再利用等角对等边得到DE=EC，由AE+EC求出AC的长，利用角平分线定理求出DC的长，由BD+DC求出BC的长即可．

解答 解：在AC上截取AE=AB=6$\sqrt{2}$，如图所示，

在△ABD和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAD=∠EAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴DB=DE=4$\sqrt{2}$，∠AED=∠B=2∠C，
∵∠AED=∠C+∠CDE，
∴∠C=∠CDE，
∴EC=DE=4$\sqrt{2}$，
∴AC=AE+EC=10$\sqrt{2}$，
∵AD平分∠BAC，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CD}{BD}$，即$\frac{10\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}$=$\frac{CD}{4\sqrt{2}}$，
解得：CD=$\frac{20\sqrt{2}}{3}$，
则BC=BD+DC=4$\sqrt{2}$+$\frac{20\sqrt{2}}{3}$=$\frac{{32\sqrt{2}}}{3}$，
故答案为：$\frac{32\sqrt{2}}{3}$

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．