Question

4．已知△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，DC∥AB，连接AD交BC于E，点F在AB延长线上，且∠ADF=∠ACB．
（1）当E为BC边中点时，如图1，求证：CD=CE+BF；
（2）如图2，当E为BC延长线上一点时，CD、CE、BF有怎样的数量关系？请证明．

Answer 1

分析 （1）过B作BM垂直于CD，首先证明四边形BMDF为矩形，再在RT△BMC中，利用30度角性质即可解决问题．
（2）结论CE=CD+BF，由△OBF∽△ACE得$\frac{CE}{BF}$=$\frac{AC}{OB}$，由CD∥AB得$\frac{CD}{BF}$=$\frac{CO}{OB}$，所以$\frac{CE}{BF}$-$\frac{CD}{BF}$=$\frac{AC}{OB}$-$\frac{CO}{OB}$，因为AC=BC，所以$\frac{CE-CD}{BF}$=$\frac{BC-CO}{OB}$=1，由此即可证明．

解答 解：（1）在图1中，过B作BM⊥CD，交CD于M，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ADF=∠ACB=60°，
∵E是BC中点，
∴AD⊥BC，AE为角平分线，
∴∠BAE=30°，
∴在△AFD中，∠AFD=90°，
∵CD∥AF，
∴∠FDM=∠AFD=∠BMD=90°，
∴四边形BMDF为矩形，
∴BF=DM，
在Rt△BMC中，∠BMC=90°，∠MBC=30°，E是BC中点，
∴MC=$\frac{1}{2}$BC=CE，
则CD=DM+CM=BF+CE；
（2）结论CE=CD+BF，理由如下，
在图2中，设BE与DF交于O点，
∵∠OBF=∠ODE=120°，∠BOF=∠DOE，
∴△BOF∽△DOE，
∴∠F=∠E，
∵∠OBF=∠ACE=120°，
∴△OBF∽△ACE，
∴$\frac{CE}{BF}$=$\frac{AC}{OB}$，
∵CD∥AB
∴$\frac{CD}{BF}$=$\frac{CO}{OB}$，
∴$\frac{CE}{BF}$-$\frac{CD}{BF}$=$\frac{AC}{OB}$-$\frac{CO}{OB}$，
∵AC=BC，
∴$\frac{CE-CD}{BF}$=$\frac{BC-CO}{OB}$=1，
则CE=CD+BF．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角的性质等知识，第二个问题的证明有点难度，利用等式的性质是解题的关键．