Question

9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于A、B两点、与y轴交于点C，经过点B的直线y=-x+4与y轴交于点D，点P在抛物线的对称轴上，且P点的横坐标是1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第一象限的抛物线上有一个动点M，过点M作直线MN⊥x轴于点N，交直线BD于点E，若点M到直线BD的距离与BN的长度之比为2$\sqrt{2}$：1，求点M的坐标；
（3）如图2，若点P位于x轴上方，且∠PAB=60°，点Q是对称轴上的一个动点，将△BPQ绕点P顺时针旋转60°得到△B′PQ′（B的对应点为B′，Q的对应点为Q′），是否存在点Q，使△BQQ′的面积是$\frac{\sqrt{3}}{4}$？若存在，请求出PQ的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点B代入以及利用对称轴公式列出方程组解决．
（2）如图1中，作MF⊥BD垂足为F，设M（m，-m²+2m+8），因为∠MED=∠BEN，∠MFE=∠ENB=90°由△MFE∽△BNE得$\frac{NF}{BN}=\frac{ME}{EB}$=2$\sqrt{2}$，列出方程解决．
（3）分三种情形列出方程解决，①如图2中，当点Q在点P上方，设Q（1，m），根据S_△BQQ′=S_△PQQ′+S_△PBQ′-S_△PBQ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$列出方程即可解决，②如图3中当点Q在点P下方，设Q（1，m）（m＜$\sqrt{3}$），根据S_△BQQ′=S_△PQB+S_△PQQ′-S_△PBQ′=$\frac{\sqrt{3}}{4}$列出方程即可解决．③如图4中，当点Q在点P下方，设Q（1，m）（$\sqrt{3}$＜m＜3$\sqrt{3}$），根据S_△BQQ′=S_△PBQ′-S_△PQQ′-S_△PQB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$列出方程即可解决．

解答 解：（1）∵直线y=-x+4与x轴交于点B，
∴点B坐标（4，0），由题意$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+8=0}\\{-\frac{b}{2a}=1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+8．
（2）如图1中，作MF⊥BD垂足为F，设M（m，-m²+2m+8），
∵∠MED=∠BEN，∠MFE=∠ENB=90°，
∴△MFE∽△BNE，
∴$\frac{NF}{BN}=\frac{ME}{EB}$=2$\sqrt{2}$，
∴ME=2$\sqrt{2}$EB，
∵OD=OB=4，∠DOB=90°，
∴∠ODB=45°，EB=$\sqrt{2}$BN，
∴ME=4BN，
∴-m²+2m+8-（-m+4）=4（4-m）
∴m=3（或4不合题意舍弃），
∴点M坐标为（3，5）
（3）存在．
①如图2中，当点Q在点P上方，设Q（1，m），∵△PQQ′、△PAB是等边三角形，
∴QP=PQ′=m-3$\sqrt{3}$，∠BPQ′=90°，
∴S_△BQQ′=S_△PQQ′+S_△PBQ′-S_△PBQ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$×$6×（m-3\sqrt{3}$）+×$\frac{\sqrt{3}}{4}$（m-3$\sqrt{3}$）²-$\frac{1}{2}×3×$（m-3$\sqrt{3}$），
整理得$\sqrt{3}$（m-3$\sqrt{3}$）²+6（m-3$\sqrt{3}$）-$\sqrt{3}$=0，
解得m=2$\sqrt{3}$+2（或2$\sqrt{3}$-2不合题意舍弃），此时PQ=2-$\sqrt{3}$
②如图3中，当点Q在点P下方，设Q（1，m）（m＜$\sqrt{3}$），
∵△PQQ′、△PAB是等边三角形，
∴QP=PQ′=3$\sqrt{3}$-m，∠BPQ′=90°，
∴S_△BQQ′=S_△PQB+S_△PQQ′-S_△PBQ′=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$×$（3\sqrt{3}-m）$×3+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（3$\sqrt{3}$-m）²-$\frac{1}{2}$×6×（3$\sqrt{3}$-m）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
整理得$\sqrt{3}$（3$\sqrt{3}$-m）²-6（3$\sqrt{3}$-m）-$\sqrt{3}$=0
解得m=2$\sqrt{3}$-2（或2$\sqrt{3}$+2不合题意舍弃），此时PQ=$\sqrt{3}+2$
③如图4中，当点Q在点P下方，设Q（1，m）（$\sqrt{3}$＜m＜3$\sqrt{3}$），
∵△PQQ′、△PAB是等边三角形，
∴QP=PQ′=3$\sqrt{3}$-m，∠BPQ′=90°，
∴S_△BQQ′=S_△PBQ′-S_△PQQ′-S_△PQB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$×$6×（3\sqrt{3}-m）$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（3$\sqrt{3}$-m）²-$\frac{1}{2}$×（3$\sqrt{3}$-m）×3=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
整理得$\sqrt{3}$（3$\sqrt{3}$-m）²-6（3$\sqrt{3}$-m）+$\sqrt{3}$=0
解得m=2$\sqrt{3}$$±\sqrt{2}$．
此时PQ=$\sqrt{3}$$±\sqrt{2}$，
综上所述：PQ的长为2$±\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$±$\sqrt{2}$．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法、三角形的面积、旋转的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是用方程的思想去思考问题，需要正确画出图形，属于中考压轴题．