Question

6．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（2m，m），沿着OB翻折△OAB，设翻折后的点A的应对点为点D，OD与BC交于点E，点M在y轴上，直线ME与x轴相交于点F，且∠EMC与∠MOB互余，经过点A，C，D的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．
（1）求点E的坐标（用含m的式子表示）；
（2）若点M的坐标为（0，5），求该抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，设线段CB下方的抛物线上是否存在点P，使△CEP与△BDE的面积比为3：5？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设CE=x则OE=EB=2m-x，在RT△OCE中，由OE²=OC²+CE²求出x，即可求出点E坐标．
（2）由△MOG∽△BOC得$\frac{MG}{BC}=\frac{OG}{OC}$即$\frac{MG}{OG}=\frac{BC}{OC}$=2，设OG=a，则MG=2a，在RT△MOG中，利用勾股定理求出a，可以解决A、C两点坐标，作DN⊥BC于N，因为∠CEO=∠DEN，∠OCE=∠DNE=90°，所以△OCE∽△DNE所以$\frac{DN}{OC}=\frac{EN}{CE}$=$\frac{DE}{EO}$，由此求出DN，EN即可知道点D的坐标，再利用待定系数法求二次函数的解析式．
（3）首先证明S_△BDE=S_△ECO=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×2=$\frac{3}{2}$，设P（n，-$\frac{5}{8}$n²+2n+2），根据三角形面积公式列出方程即可解决．

解答 解：（1）∵△OBD是由△OBA翻折，
∴∠AOB=∠BOD，
∵四边形OABC是矩形，B（2m，m）
∴OA=BC=2m，OC=AB=m，OC∥AB，BC∥OA，
∴∠AOB=∠CBO，
∴∠OBC=∠EOB，
∴OE=EB，设CE=x则OE=EB=2m-x，
在RT△OCE中，∵OE²=OC²+CE²，
∴（2m-x）²=m²+x²，
∴x=$\frac{3}{4}$m，
∴点E（$\frac{3}{4}$m，m）．
（2）∵∠EMC+∠MOB=90°，
∴∠MGO=90°，
∵EO=EB，
∴OG=GB，
∵∠MOG=∠COB，∠MGO=∠OCB=90°，
∴△MOG∽△BOC，
∴$\frac{MG}{BC}=\frac{OG}{OC}$，
∴$\frac{MG}{OG}=\frac{BC}{OC}$=2，设OG=a，则MG=2a，
在RT△MOG中，∵OM=5，
∴a²+（2a）²=5²，
∵a＞0，
∴a=$\sqrt{5}$
∴OB=2$\sqrt{5}$，
在RT△AOB中，m²+（2m）²=20，
∵m＞0，
∴m=2，
∴A（4，0），C（0，2），E（$\frac{3}{2}$，2），作DN⊥BC于N，
∵∠CEO=∠DEN，∠OCE=∠DNE=90°，
∴△OCE∽△DNE，
∴$\frac{DN}{OC}=\frac{EN}{CE}$=$\frac{DE}{EO}$
∴$\frac{DN}{2}=\frac{EN}{\frac{3}{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{2}}$，
∴DN=$\frac{6}{5}$，EN=$\frac{9}{10}$，
∴点D（$\frac{12}{5}$，$\frac{16}{5}$），
∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A，C，D，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{16a+4b+c=0}\\{\frac{144}{25}a+\frac{12}{5}b+c=\frac{16}{5}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{5}{8}}\\{b=2}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴二次函数为y=-$\frac{5}{8}$x²+2x+2．
（3）∵S_△BCO=S_△BOD，
∴S_△BDE=S_△ECO=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×2=$\frac{3}{2}$．
设P（n，-$\frac{5}{8}$n²+2n+2），由题意：$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×[2-（-$\frac{5}{8}$n²+2n+2）]=$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{2}$，
解得：n=$\frac{8±\sqrt{7}}{5}$，
∴点P坐标为（$\frac{8+4\sqrt{7}}{5}$，$\frac{4}{5}$）或（$\frac{8-4\sqrt{7}}{5}$，$\frac{4}{5}$）

点评 本题考查待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、三角形的面积公式等知识，解题的关键是求出点A、C、D的坐标，属于中考压轴题．