Question

1．在△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC，且BD=6，CD=9，在AD上取一点E使BE=BD，射线BE交AC于F，在线段FC上取一点G使GF：FA=1：8，连接BG，则线段BG的长为$\frac{9\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 过D作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到AB=AH，BD=DH=6，推出△ABD≌△AHD，得到∠2=∠3，证得BF∥DH，BF⊥AC，根据勾股定理得到CH=$\sqrt{D{C}^{2}-D{H}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，设AB=AH=m，由勾股定理列方程求得m=6$\sqrt{5}$，由于△CDH∽△BAF，得到$\frac{AF}{DH}=\frac{AB}{DC}=\frac{BF}{CH}$，求得AF=4$\sqrt{5}$，BF=10，GF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：过D作DH⊥AC于H，
∵AD平分∠BAC，
∴AB=AH，BD=DH=6，
在△ABD与△ADH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠DAH}\\{∠ABD=∠AHD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AHD，
∴∠2=∠3，
∵BE=BD，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴BF∥DH，BF⊥AC，
∴CH=$\sqrt{D{C}^{2}-D{H}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
设AB=AH=m，
∴（m+3$\sqrt{5}$）²=m²+（6+9）²，
∴m=6$\sqrt{5}$，
∵△CDH∽△BAF，
∴$\frac{AF}{DH}=\frac{AB}{DC}=\frac{BF}{CH}$，
∴AF=4$\sqrt{5}$，BF=10
，∵$\frac{GF}{FA}=\frac{1}{8}$，
∴GF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴BG=$\sqrt{B{F}^{2}+G{F}^{2}}$=$\frac{9\sqrt{5}}{2}$，
故答案为：$\frac{9\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．