Question

14．如图，△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点P．
（1）求证：∠BCP=∠BAN；
（2）若BP=3，MN=2，CB=6，求AM的长．

Answer 1

分析 （1）由直径所对的圆周角为90°得出∠ANC=90°，由相切得出∠ACP=90°，拆分∠ACP并结合三角形一个外角等于两不相邻的内角和得出结论；
（2）设AB=a，作△BPC底边PC上的高BD，用三角函数表示出BD的长，可用a表示出∠BPC的正弦值，在Rt△ACP中用a表示出∠APC的正弦，即可得出关于a的一元二次方程，解方程可得出AB的长度，再由△BMC∽△CNA可得出BM的长，最后由线段间的关系AB=AM+BM得出结论．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵PC与⊙O相切于点C，
∴∠ACP=90°，∠BCP=∠ACP-∠ACB=90°-∠ACB．
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ANC=90°．
∵∠ANC=∠ABC+∠BAN（外角等于不相邻的两个内角和），
∴∠BAN=∠ANC-∠ABC=90°-∠ABC，
∴∠BCP=∠BAN．
（2）解：过B作BD⊥PC于点D，连接CM，如题所示．

设AB=a，则AC=a，AP=AB+BP=a+3．
∵BD=BP•sin∠BPC=BC•sin∠BCP，
∴$\frac{BP}{BC}$=$\frac{sin∠BCP}{sin∠BPC}$．
在Rt△ANC中，sin∠BAN=$\frac{BN}{AB}$，
∵AB=AC，且AN⊥BC，
∴BN=CN=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴sin∠BAN=$\frac{3}{a}$．
∵∠BCP=∠BAN，
∴sin∠BCP=$\frac{3}{a}$．
∵$\frac{BP}{BC}$=$\frac{sin∠BCP}{sin∠BPC}$，
∴sin∠BPC=$\frac{6}{a}$．
∵∠ACP=90°，
∴sin∠APC=$\frac{AC}{AP}$=$\frac{a}{a+3}$=sin∠BPC=$\frac{6}{a}$，
即有a²-6a-18=0，解得：a=3+3$\sqrt{3}$，或a=3-3$\sqrt{3}$（舍去）．
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AMC=90°，
∴∠BMC=90°=∠CNA．
又∵∠MBC=∠NCA，
∴△BMC∽△CNA，
∴$\frac{BM}{CN}$=$\frac{BC}{CA}$，
∴BM=$\frac{BC•CN}{CA}$=$\frac{6×3}{3+3\sqrt{3}}$=3$\sqrt{3}$-3，
AM=AB-BM=3+3$\sqrt{3}$-（3$\sqrt{3}$-3）=6．

点评 本题考查了切线的性质、角的计算、三角函数、相似三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）找出∠BCP90°-∠ACB，∠BAN=90°-∠ABC；（2）设出AB=a，利用三角函数找出关于a的一元二次方程．本题属于中档题，（1）难度不大；（2）难度不小，由于初中阶段没有学习正弦定理，只能运用证正弦定理的方法找出关于a的一元二次方程，找出a后再由相似三角形找出BM的长，从而得出AM的长．解决该类题型的方法是，找到跟所求线段有关的三角形，由相似或者三角函数值找到比例关系即可．