Question

19．已知2-$\sqrt{5}$是方程x²-4x+c=0的一个根，求（x₁-x₂）²的值．

Answer 1

分析 首先把x=2-$\sqrt{5}$代入x²-4x+c=0可得c的值，然后再根据韦达定理可得x₁+x₂=4，x₁x₂=-1，把（x₁-x₂）²变形为（x₁+x₂）²-4x₁x₂，再代入求值即可．

解答 解：由题意得：（2-$\sqrt{5}$）²-4（2-$\sqrt{5}$）+c=0，
解得：c=-1，
把c=-1代入x²-4x+c=0可得：x²-4x-1=0，
∵a=1，b=-4，c=-1，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=-1，
（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4²-4×（-1）=20．

点评 此题主要考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，关键是掌握x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．