Question

7．如图，将两块大小相同的三角板重叠在一起，∠A=30°，∠B=60°，BC=10cm，把上面一块三角板绕顶点C作逆时针方向旋转到△A′B′C′的位置，点B′在AB上，A′B′与AC相交于点D，则A′D的长度为（　　）

• A． 14cm
• B． 15cm
• C． 16cm
• D． 17cm

Answer 1

分析 首先证明△BCB′是等边三角形、A′B′∥BC，得∠A′DC=∠ACB=90°，在RT△ABC中求出AC，根据A′C=AC，再在Rt△A′DC中利用勾股定理即可求出A′D．

解答 解：∵△A′B′C是由△ABC旋转，
∴BC=CB′，
∵∠B=60°，
∴△BCB′是等边三角形，
∴∠BCB′=60°，
∵∠A′B′C=60°，
∴∠A′B′C=∠BCB′，
∴A′B′∥BC，
∴∠A′DC=∠ACB=90°，
∵∠A′CB′=∠ACB=90°，
∴∠A′CD=∠BCB′=60°，
∴∠A′=30°，
在Rt△ACB中，∵BC=10，∠B=60°，
∴∠A=30°，AB=2BC=20，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=10$\sqrt{3}$，
在Rt△A′CD中，∵∠A′=30°，A′C=AC=10$\sqrt{3}$，
∴CD=$\frac{1}{2}$A′C=5$\sqrt{3}$，A′D=$\sqrt{A′{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{（10\sqrt{3}）^{2}-（5\sqrt{3}）^{2}}$=15．
故选B．

点评 本题考查旋转的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、解题的关键是利用特殊图形解决问题，解题时要充分利用旋转不变性，属于中考常考题型．