Question

12．如图，直线l与双曲线$y=\frac{k}{x}$的一支相交于A、B两点，l与x轴相交于点D，C为线段OD中点，△OAC与△BCD分别是以OC、CD为底的等腰三角形，且S_△OAC+S_△BCD=2，则k=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 作AE⊥x轴于点E，作BF⊥x轴于点F，则△BDF∽△ADE，设A的横坐标是m，纵坐标是n，则mn=k，B坐标可以利用m、n表示，则利用m和n表示出△OAC和△BCD的面积，然后根据S_△OAC+S_△BCD=2，得到一个关于k的方程，从而求解．

解答 解：作AE⊥x轴于点E，作BF⊥x轴于点F．
∵AO=AC，BC=BD，
∴OE=EC，CF=FD，
又∵OC=CD，
∴OE=EC=CF=FD．
∵AE⊥x，BF⊥x，
∴AE∥BF，
∴△BDF∽△ADE，
∴$\frac{BF}{AE}$=$\frac{FD}{DE}$=$\frac{1}{3}$，即BF=$\frac{1}{3}$AE．
设A的横坐标是m，纵坐标是n，则mn=k，B的横坐标3m，纵坐标是$\frac{1}{3}$n．
则S_△OAC=$\frac{1}{2}$×2mn=mn=k．S_△BCD=$\frac{1}{2}$×2m×$\frac{1}{3}$n=$\frac{1}{3}$mn=$\frac{1}{3}$k．
∵S_△OAC+S_△BCD=2，
∴k+$\frac{1}{3}$k=2，
解得：k=$\frac{3}{2}$．
故答案是：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用k表示出△OAC和△BCD的面积是关键．