Question

20．如图，用火柴棒搭图形，第1个图形用了三根火柴棒搭出了一个等边三角形，第二个图形在第一个图形的基础上搭了一个每边是一根火柴棒的平行四边形，平行四边形与三角形的公共边只用一根火柴棒，依次交替搭下去搭出以后各个图形，记第n个图形用了a_n根火柴棒．

（1）填表：

n	an	n	an
1	3	2	6
3	8	4	11
5	13	6	16

（2）当n为奇数时，小明说：a_n=5n+3，小亮说：a_n=$\frac{5n+1}{2}$．你认为他们谁说得对？
     并求当n为偶数时的a_n（用含n的代数式表示）．
（3）a_n是否可取下列各值：2016，2015？若可取，求出此时n的值．

Answer 1

分析 （1）根据图形的变化，可知偶数下标比前一个图形多3根，奇数下标比前一个图形多2根，套入数据即可得出结论；
（2）根据图形的变化，可知偶数下标比前一个图形多3根，奇数下标比前一个图形多2根，将n分奇偶处理，看1到n中有多少个偶数和奇数，从而得出结论；
（3）令a_n=2016，a_n=2015，套用（2）得出的结果即可结论．

解答 解：根据图形的变化，可知图2比图1多3根火柴棒，图3比图2多2根火材棒，图4比图3多3根火柴棒…，即多的数目3、2交替．
（1）a₃=a₂+2=6+2=8，a₄=a₃+3=8+3=11，a₅=a₄+2=11+2=13，a₆=a₅+3=13+3=16．
故答案为：8；11；13；16．
（2）a₁=3=1+2．
当n为奇数时，1到n中有$\frac{n-1}{2}$个偶数，有$\frac{n+1}{2}$个奇数，
结合发现的规律可知：a_n=1+$\frac{n+1}{2}$×2+$\frac{n-1}{2}$×3=$\frac{5n+1}{2}$，
故小亮说的正确．
当n为偶数时，1到n中有$\frac{n}{2}$个偶数，有$\frac{n}{2}$个奇数，
结合发现的规律可知：a_n=1+$\frac{n}{2}$×2+$\frac{n}{2}$×3=$\frac{5n+2}{2}$．
（3）令a_n=2016，即$\frac{5n+1}{2}$=2016，或$\frac{5n+2}{2}$=2016，
解得：n=$\frac{4031}{5}$，或n=806；
令a_n=2015，即$\frac{5n+1}{2}$=2015，或$\frac{5n+2}{2}$=2015，
解得：n=$\frac{4029}{5}$，或n=$\frac{4028}{5}$．
综上可知，a_n能取2016，此时n的值为806．

点评 本题考查了图形的变化，解题的关键是：发现“偶数下标比前一个图形多3根，奇数下标比前一个图形多2根”．本题属于中档题型，有点难度，难点再与如何去寻找规律，做形如此类题型时，不妨将数据分成奇偶两组来讨论．