Question

9．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，它的顶点是D，对称轴是直线x=-2，且OB=OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在上述抛物线上，且S_△ACP=S_△BCD，求点P的坐标；
（3）点E在直角坐标平面内，点B、C、D、E是一个平行四边形的四个顶点，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的对称轴为x=-2，可得出b的值，由OB=OC，可用c表示出C点坐标，代入抛物线解析式即可得得出结论；
（2）由抛物线的解析式可找出B、C、D点的坐标，找出直线BC的解析式，由点到直线的距离结合三角形的面积公式可求出S_△BCD，设出P点坐标（m，-m²-4m+5），结合面积相等可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（3）构造以B、C、D、E为顶点的平行四边形，就是在△BCD的基础上寻找点E，分别以三角形的三条边为对角线来讨论，即可得出结论．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c，对称轴是直线x=-2，
∴$-\frac{b}{2×（-1）}=-2$，得b=-4，
∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，它的顶点是D，且OB=OC，
∴点B的坐标为（0，c），点C的坐标为（-c，0），
∴0=-（-c）²-4×（-c）+c，
解得c=0（舍去）或c=5，
∴抛物线的解析式是y=-x²-4x+5．
（2）∵抛物线的解析式是y=-x²-4x+5=-（x+2）²+9，
∴点D的坐标为（-2，9）．
令x=0，y=5，即点B（0，5）；
令y=0，-x²-4x+5=0，解得x=-5，或x=1，
即点C（-5，0），点A（1，0）．
设点P的坐标为（m，-m²-4m+5），直线BC的解析式为y=kx+5．
∵点C（-5，0）在直线BC上，
∴0=-5k+5，解得：k=1，
即直线BC的解析式为x-y+5=0．
点D（-2，9）到直线BC的距离h=$\frac{|-2-9+5|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=3$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{[0-（-5）]^{2}+（5-0）^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
△BCD的面积S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC•h=$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{2}$×3$\sqrt{2}$=15．
点P到直线AC的距离d=|-m²-4m+5|，AC=1-（-5）=6，
△ACP的面积S_△ACP=$\frac{1}{2}$AC•d=3|-m²-4m+5|=15．
①当点P在x轴上方时，有-m²-4m+5=5，
解得：m=0，或m=-4，
此时点P坐标为（0，5）或（-4，5）；
②当点P在x轴下方时，有m²+4m-5=5，
解得：m=-2±$\sqrt{14}$，
此时点P坐标为（-2-$\sqrt{14}$，-5）或（-2+$\sqrt{14}$，-5）．
综上可知：点P的坐标为（0，5）、（-4，5）、（-2-$\sqrt{14}$，-5）和（-2+$\sqrt{14}$，-5）．
（3）点E在直角坐标平面内，点B、C、D、E是一个平行四边形的四个顶点分三种情况：
①以CD为对角线时，如图1所示．

令线段CD的中点为F，由平行四边形的性质可知：
点F为CD的中点，点F还是BE的中点．
∵点C（-5，0），点D（-2，9），
∴x_F=$\frac{-5+（-2）}{2}$=-$\frac{7}{2}$，y_F=$\frac{0+9}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∴点F坐标为（-$\frac{7}{2}$，$\frac{9}{2}$），
∵点B（0，5），
∴x_E=2×（-$\frac{7}{2}$）-0=-7，y_E=2×$\frac{9}{2}$-5=4，
即此时点E的坐标为（-7，4）；
②以BC为对角线，如图2所示．

令线段BC的中点为F，由平行四边形的性质可知：
点F为BC的中点，点F还是DE的中点．
∵点B（0，5），点C（-5，0），
∴x_F=$\frac{0+（-5）}{2}$=-$\frac{5}{2}$，y_F=$\frac{5+0}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴点F的坐标为（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$），
∵点D（-2，9），
∴x_E=2×（-$\frac{5}{2}$）-（-2）=-3，y_E=2×$\frac{5}{2}$-9=-4，
即此时点E的坐标为（-3，-4）；
③以BD为对角线，如图3所示．

令线段BD的中点为F，由平行四边形的性质可知：
点F为BD的中点，点F还是CE的中点．
∵点B（0，5），点D（-2，9），
∴x_F=$\frac{0+（-2）}{2}$=-1，y_F$\frac{5+9}{2}$=7，
∴点F的坐标为（-1，7），
∵点C（-5，0），
∴x_E=2×（-1）-（-5）=3，y_E=2×7-0=14，
即此时点E的坐标为（3，14）．
综上可知：满足条件的点E的坐标为：（-7，4）、（-3，-4）和（3，14）．

点评 本题考查了解一元二次方程、点到直线的距离、三角形的面积公式、中点坐标公式以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）由OB=OC，以c表示出来C点坐标；（2）由点到直线的距离结合三角形的面积公式找出一元二次方程；（3）在△BCD的基础上构造平行四边形．本题属于中档题，（1）（2）难度不大，在作题的过程中细心计算即可；（3）部分同学感觉无处着手，其实平行四边形是在△BCD的基础上构造的，分别以三角形的三条边为对角线即可解决．