Question

5．在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E是线段BC上的动点，连AE交CD于点F．
（1）若CE=CF，求证：AE平分∠BAC；
（2）已知AD=1，CD=2，若CE=EF，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）由CE=CF得∠CEF=∠CFE，因为∠CEF=∠B+∠EAB，∠CFE=∠ACD+∠CAE，欲证明∠CAE=∠BAE只要证明∠ACD=∠B即可．
（2）利用△ACD∽△ABC求出AB、BC，再证明EA=EB设EC=x，在RT△ACE中利用勾股定理即可求出x．

解答 解：（1）∵CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE （等边对等角），
∵∠AFD=∠CFE（对顶角相等），
∴∠CEF=∠AFD（等量代换），
∵CD⊥AB∴∠ADF=90°（垂直定义），
在△AEC和△AFD中，∠ACE=∠ADF=90°，∠CEF=∠AFD，
∴180°-∠ACE-∠CEF=180°-∠ADF-∠AFD（三角形内角和定理），
即：∠CAE=∠EAD，
∴AE平分∠BAC（角平分线定义）．
（2）在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AC²=AD²+CD²，
∴$AC=\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}=\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{5}$，
∵∠CAD=∠BAC，∠CDA=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△ABC（两角对应相等两三角形相似），
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{CD}{BC}$（相似三角形对应边成比例）
∴$\frac{\sqrt{5}}{AB}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{2}{BC}$，
∴AB=5，BC=2$\sqrt{5}$，
∵EC=EF，
∴∠ECF=∠CFE=∠AFD，
∵∠B+∠ECF=90°，∠FAD+∠AFD=90°，
∴∠FAD=∠EBA（等角的余角相等），
∴EA=EB（等角对等边）
设EC=x，则EB=AE=2$\sqrt{5}$-x，
在RT△ACE中，∵AC²+CE²=AE²，
∴（$\sqrt{5}$）²+x²=（2$\sqrt{5}$-x）²，
∴x=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$．
∴CE=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$．

点评 本题考查角平分线定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，属于中考常考题型．