Question

17．如图，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD，若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，PD的长2$\sqrt{7}$，四边形ABEF的面积8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，从而得到∠AFB=∠FBE，再由∠ABF=∠FBE，推出∠ABF=∠AFB，于是得到AB=AF，同理得出AB=BE，四边形ABEF是菱形，由菱形的性质得出AE⊥BF，得到∠ABF=30°，∠BAP=∠FAP=60°从而得出AB=AE=4，AP=2，过点P作PM⊥AD于M，得到PM=$\sqrt{3}$，AM=1，从而得到DM=5，由勾股定理求出PD、PB的长，即可得出结果．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB=∠FBE，
∵∠ABF=∠FBE，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
同理AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABF=30°，∠BAP=∠FAP=60°，△ABE为等边三角形，
∴AB=AE=4，
∵AB=4，
∴AP=2，
过点P作PM⊥AD于M，如图所示：
∴PM=$\sqrt{3}$，AM=1，
∵AD=6，
∴DM=5，
∴PD=$\sqrt{P{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{5}^{2}}$=2$\sqrt{7}$；
BP=$\sqrt{A{B}^{2}-A{P}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴菱形ABEF的面积=2×$\frac{1}{2}$BP•AE=2×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×4=8$\sqrt{3}$；
故答案为：2$\sqrt{7}$，8$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质、菱形的判定与性质、含30°角的直角三角形性质、勾股定理，等边三角形的判定与性质、菱形面积的计算等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键．