Question

12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，点O为BC上的点，⊙O的半径OC=1，点D是AB边上的动点，过点D作⊙O的一条切线DE（点E为切点），则线段DE的最小值为（　　）

• A． $3\sqrt{2}-1$
• B． $\sqrt{15}-1$
• C． $\sqrt{15}$
• D． 4

Answer 1

分析 连接OE、OD，由DE为⊙O的切线知DE²+OE²=OD²即DE=$\sqrt{O{D}^{2}-1}$，要使DE最小，则OD最小即可，根据题意可知当OD⊥AB时，OD最小，通过证明△BDO∽△BCA可得OD的长度，可得DE的最小值．

解答 解：如图，连接OE、OD，

在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=6，
∵DE为⊙O的切线，
∴∠DEO=90°，
∴DE²+OE²=OD²，
∵OE=1，
∴DE²=OD²-1，即DE=$\sqrt{O{D}^{2}-1}$，
要使DE最小，则OD最小即可，
∵D为AB边上的动点，
∴当OD⊥AB时，OD最小，
∵BC=6，OC=1，
∴BO=5，
∵∠ODB=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BDO∽△BCA，
∴$\frac{OD}{AC}=\frac{BO}{AB}$，即$\frac{OD}{8}=\frac{5}{10}$，
解得：OD=4，
∴DE=$\sqrt{{4}^{2}-1}$=$\sqrt{15}$，
故选：C．

点评 本题主要考查切线的性质，关于圆的切线常添的辅助线是连接圆心和切点可得直角，本题中意识到要使DE最小则OD最小即可是关键．