Question

20．如图，A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）△ABC的形状是等边三角形；（直接填空，不必说理）
（2）延长BP到D点，使得BD=CP，连接AD，试判断△ADP的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）由（1）结论知AB=AC，推出△PCA≌△DBA，根据全等三角形的性质得到∠D=∠APC=60°，由于∠DPA=180°-∠APC-∠CPB=60°，求得∠DAP=60°，即可得到结论．

解答 解：△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是$\widehat{BC}$所对的圆周角，∠ABC与∠APC是$\widehat{AC}$所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
故答案为：等边三角形；

（2）足等边三角形，
理由：由（1）结论知AB=AC，
∵BD=CP，∠PCA=∠DBA，
在△PCA与△DBA中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠PCA=∠DBA}\\{BD=CP}\end{array}\right.$，
∴△PCA≌△DBA，
∴∠D=∠APC=60°，
∵∠DPA=180°-∠APC=∠CPB=60°，
∴∠DAP=60°，
∴△ADP是等边三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理．同弧所对的圆周角相等，并且等于它所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的判定方法．