Question

7．如图，AB=16cm，点D为射线AC上一点，且AD=20cm，点E是平面上任一点，且BE=3AE．
（1）如果点E在直线AB上，则AE的长度为4或8cm；
（2）如果3ED+BE的值最小，请指明点E的位置，此时最小值是60cm；
（3）如果AD⊥AB，（2）中的结论还成立吗？（填“成立”或“不成立”）．

Answer 1

分析 （1）点E在直线AB上有3种情况，点E在线段AB上、在射线BA上、在射线AB上，显然在射线AB上不合题意，分别就剩余两种情况求得AE的值；
（2）结合BE=3AE知3ED+BE=3（DE+AE），在△ADE中知当点E在线段AD上时，DE+AE最小，可求得3ED+BE的最小值；
（3）依然成立，与（2）同理．

解答 解：（1）∵BE=3AE，
∴当点E在线段AB上时，AE+BE=AB，即AE+3AE=16，解得：AE=4cm；
当点E在射线BA上时，BE-AE=AB，即3AE-AE=16，解得：AE=8cm；
（2）∵BE=3AE，
∴3ED+BE=3ED+3AE=3（DE+AE），
当点E在线段AD上时，DE+AE最小，DE+AE=AD=20cm，
故3ED+BE的最小值为60cm；
（3）成立，与（2）同理．
故答案为：（1）4或8；（2）60．

点评 本题主要考查两点之间的距离及两线段和的最小值，全面考虑所有情况是容易忽略点，线段和最小通常放到三角形中根据三边之间关系可判断最小情况．