Question

19．如图，点P是平行四边形ABCD对角线BD上的动点，点M为AD的中点，已知AD=8，AB=10，∠ABD=45°，把平行四边形ABCD绕着点A按逆时针方向旋转，点P的对应点是点Q，则线段MQ的长度的最大值与最小值的差为18-5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如作AP₁⊥BD垂足为P₁，当AP₁旋转到与射线AD的重合时（点P₁与点E重合），ME就是MQ最小值，当点P₂与B重合时，旋转到与DA的延长线重合时（点P₂与点F重合），此时MF就是MQ最大值，分别求出MQ的最大值与最小值即可解决问题．

解答 解：如图，作AP₁⊥BD垂足为P₁，
∵∠DBA=45°，AB=10，
∴∠P₁AB=∠DBA=45°，AP₁=P₁B=5$\sqrt{2}$，
∵AM=MD=$\frac{1}{2}$AD=4，
当AP₁旋转到与射线AD的重合时（点P₁与点E重合），ME就是MQ最小值=5$\sqrt{2}$-4，
当点P₂与B重合时，旋转到与DA的延长线重合时（点P₂与点F重合），此时MF就是MQ最大值=AM+AF=14，
∴MQ的最大值与最小值的差=14-（5$\sqrt{2}$-4）=18-5$\sqrt{2}$．
故答案为18-5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查旋转的性质、平行四边形的性质等知识，根据题意找到MQ最大值与最小值的位置是解题的关键．