Question

11．已知一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+2和y=2x-3的图象分别交y轴与A、B两点，两个一次函数的图象相交于点P．
（1）求△PAB的面积；
（2）求证：∠APB=90°；
（3）若在一次函数y=2x-3的图象上有一点N，且横坐标为x，连结NA，请直接写出△NAP的面积关于x的函数关系式，并写出相应x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先解两个一次函数的解析式组成的方程组求得P的坐标，然后求得A和B的坐标，则AB的长即可求得，根据三角形的面积即可求得；
（2）利用勾股定理的逆定理求解；
（3）表示出PN的长，然后根据三角形的面积公式即可求解．

解答 解：（1）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{y=2x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
则P的坐标是（2，1）．
在y=-$\frac{1}{2}$x+2中令x=0，解得y=2，则A的坐标是（0，2），
在y=2x-3中令x=0，解得y=-3，则B的坐标是（0，-3），
则AB=5，
则S_△PAB=$\frac{1}{2}$×5×2=5；
（2）∵PA²=2²+（2-1）²=5，
BP²=2²+（1+3）²=20，
AB²=25，
∴PA²+BP²=AB²，
∴△PAB是直角三角形，∠APB=90°；
（3）N的横坐标是x，则纵坐标是（x，2x-3）．
则PN=$\sqrt{（x-2）^{2}+（2x-3-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$|x-2|，
当x＞2时，PN=$\sqrt{5}$（x-2），
则△NAP的面积S=$\frac{1}{2}$PA•PN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$（x-2）=$\frac{5}{2}$（x-2）；
当x＜2时，PN=$\sqrt{5}$（2-x），
则△NAP的面积S=$\frac{1}{2}$PA•PN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$（2-x）=$\frac{5}{2}$（2-x）．

点评 本题考查了函数与坐标轴的交点的求法以及勾股定理的逆定理，求函数交点的坐标可以转化为解两个函数的解析式组成的方程组．