Question

14．如图，A（1，0），B（3，0），C（0，3），D（2，-1），
（1）试在y轴上找一点P，使三角形ADP的面积与三角形ABC的面积相等．
（2）如果第二象限内有一点Q（a，1），使S_△QAC=S_△ABC，求Q点坐标．

Answer 1

分析 （1）①如图当P₁（0，m）在x的正半轴上时，作DM⊥OB，P₁M⊥OP₁，根据${S}_{△{P}_{2}AD}$=${S}_{△{P}_{2}OD}{+S}_{△OAD}{-S}_{△AO{P}_{2}}$=S_△ABC列出方程求出m，②当P₂（0，n）在负半轴上时，根据${S}_{△{P}_{2}AD}$=${S}_{△{P}_{2}OD}{+S}_{△OAD}{-S}_{△AO{P}_{2}}$=S_△ABC列出方程解决．
（2）设Q（a，1），（a＜0），根据S_QAC=S_△QOC+S_△AOC-S_△AOQ=S_△ABC列出方程解决．

解答 解：（1）如图1中，当P₁在x的正半轴上时，作DM⊥OB，P₁M⊥OP₁于M，设P₁0，m），

∵${S}_{△{P}_{1}AD}$=${S}_{△{P}_{1}AM}{+S}_{△AMD}$-${S}_{△{P}_{1}DM}$=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$×2×m+$\frac{1}{2}$×（m+1）×1-$\frac{1}{2}$×2×（m+1）=3，
∴m=7．
∴P₁（0，7），
当P₂（0，n）在负半轴上时，
∵${S}_{△{P}_{2}AD}$=${S}_{△{P}_{2}OD}{+S}_{△OAD}{-S}_{△AO{P}_{2}}$=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$×（-n）×2+$\frac{1}{2}×1×1$-$\frac{1}{2}$×（-n）×1=3，
∴n=-5，
∴P₂（0，-5）．
∴点P的坐标为（0，7）或（0，-5）．
（2）如图2中，设Q（a，1），（a＜0），

∵S_QAC=S_△QOC+S_△AOC-S_△AOQ=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$×3×（-a）+$\frac{1}{2}$×1×3-$\frac{1}{2}$×1×1=3，
∴a=-$\frac{4}{3}$，
∴点Q（-$\frac{4}{3}$，1）．

点评 本题考查坐标与性质、三角形的面积等知识，解题的关键是利用分割法找出等量关系列方程解决，属于中考常考题型．