Question

【题目】在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣6，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．

（1）如图2，若α=60°，OE=OA，求直线EF的函数表达式；

（2）若α为锐角，tanα=，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积；

（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，P1（0，6），P2（﹣6，18），P3（﹣18，36），P4（﹣6，0），P5（﹣18，6）．

【解析】

试题分析：（1）先判断出△AEO为正三角形，再根据锐角三角函数求出OM即可；

（2）判断出当AE⊥OQ时，线段AE的长最小，用勾股定理计算即可；

（3）由△OEP的其中两边之比为：1分三种情况进行计算即可．

试题解析：（1）如图1，过点E作EH⊥OA于点H，EF与y轴的交点为M．

∵OE=OA，α=60°，∴△AEO为正三角形，∴OH=3，EH==，∴E（﹣3，）．

∵∠AOM=90°，∴∠EOM=30°．

在Rt△EOM中，∵cos∠EOM=，即，∴OM=，∴M（0，）．

设直线EF的函数表达式为，∵该直线过点E（﹣3，），∴=，解得，所以，直线EF的函数表达式为．

（2）如图2，射线OQ与OA的夹角为α（ α为锐角，tanα=）．

无论正方形边长为多少，绕点O旋转角α后得到正方

形OEFG的顶点E在射线OQ上，∴当AE⊥OQ时，线段AE的长最小．

在Rt△AOE中，设AE=a，则OE=2a，∴，解得，（舍去），∴OE=2a=，∴S正方形OEFG==．

（3）设正方形边长为m．

当点F落在y轴正半轴时．如图3，当P与F重合时，△PEO是等腰直角三角形，有或．

在Rt△AOP中，∠APO=45°，OP=OA=6，∴点P1的坐标为（0，6）．

在图3的基础上，当减小正方形边长时，点P在边FG 上，△OEP的其中两边之比不可能为：1；

当增加正方形边长时，存在（图4）和（图5）两种情况．

如图4，△EFP是等腰直角三角形，有=，即=，此时有AP∥OF．

在Rt△AOE中，∠AOE=45°，∴OE=OA=，∴PE=OE=12，PA=PE+AE=18，∴点P2的坐标为（﹣6，18）．

如图5，过P作PR⊥x轴于点R，延长PG交x轴于点H．设PF=n．

在Rt△POG中，==，在Rt△PEF中，=，当时，∴，∴=，得n=2m．

∵EO∥PH，∴△AOE∽△AHP，∴，∴AH=4OA=24，即OH=18，∴m=．

在等腰Rt△PRH中，PR=HR=PH=36，∴OR=RH﹣OH=18，∴点P3的坐标为（﹣18，36）．

当点F落在y轴负半轴时，如图6，P与A重合时，在Rt△POG中，OP=OG，又∵正方形OGFE中，OG=OE，∴OP=OE，∴点P4的坐标为（﹣6，0）．

在图6的基础上，当正方形边长减小时，△OEP的其中两边之比不可能为：1；当正方形边长增加时，存在（图7）这一种情况．

如图7，过P作PR⊥x轴于点R，设PG=n．

在Rt△OPG中，=，在Rt△PEF中，==．

当时，∴，∴=，∴n=2m，由于NG=OG=m，则PN=NG=m，∵OE∥PN，∴△AOE∽△ANP，∴=1，即AN=OA=6．

在等腰Rt△ONG中，ON=m，∴12=m，∴m=，在等腰Rt△PRN中，RN=PR=6，∴点P5的坐标为（﹣18，6）．

所以，△OEP的其中两边的比能为：1，点P的坐标是：P1（0，6），P2（﹣6，18），P3（﹣18，36），P4（﹣6，0），P5（﹣18，6）．