Question

【题目】如图，点E是矩形ABCD边AB上一动点（不与点B重合），过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF，已知AB＝4cm，AD＝2cm，设A，E两点间的距离为xcm，△DEF面积为ycm2．

小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小明的探究过程，请补充完整：

（1）确定自变量x的取值范围是　 　；

（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了x与y的几组值，如表：

x/cm	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	…
y/cm2	4.0	3.7		3.9		3.8	3.3	2.0	…

（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）

（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF面积最大时，AE的长度为　 　cm．

Answer 1

【答案】（1）0≤x＜4；（2）3.8，4.0;（3）见解析;（4）0，2．

【解析】

（1）利用点E在线段AB上，即可得出结论；
（2）先判断出△ADE∽△BEF，得出，进而表示出BF=，再取x=1和x=2求出y的即可；
（3）利用画函数图象的方法即可得出结论；
（4）由图象可知，即可得出结论．

（1）∵点E在AB上，

∴0≤x＜4，

故答案为：0≤x＜4；

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝2，CD＝AB＝4，∠A＝∠B＝90°，

∴∠ADE+∠AED＝90°，

∵EF⊥DE，

∴∠AED+∠BEF＝90°，

∴∠ADE＝∠BEF，

∵∠A＝∠B＝90°，

∴△ADE∽△BEF，

∴，

∵AE＝x，

∴BE＝AB﹣AE＝4﹣x，

∴，

∴BF＝，

当x＝1时，BF＝，

∴CF＝BC﹣BF＝2﹣＝，

y＝S矩形ABCD﹣S△ADE﹣S△BEF﹣S△CDF＝8﹣×2×1﹣×3×﹣×4×＝3.75≈3.8，

当x＝2时，BF＝2，

∴CF＝BC﹣BF＝0，此时，点F和点C重合，

y＝S矩形ABCD﹣S△ADE﹣S△BEF＝8﹣×2×2﹣×2×2＝4.0

故答案为：3.8，4.0

（3）描点，连线，画出如图所示的图象，

（4）由图象可知，当x＝0或2时，△DEF面积最大，

即：当△DEF面积最大时，AE＝0或2，

故答案为0，2．