【题目】已知直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点A、C,抛物线y=-x2+bx+c过点A、C,且与x轴交于另一点B,在第一象限的抛物线上任取一点D,分别连接CD、AD,作于点E.
(1)求抛物线的表达式;
(2)求△ACD面积的最大值;
(3)若△CED与△COB相似,求点D的坐标.
【答案】(1);(2)4;(3)点D的坐标为D1(3,2)、D2(,).
【解析】分析:(1)根据直线y=-x+2与x轴,y轴相交于点A,C,求点A,C的坐标,用待定系数法求抛物线的解析式;(2)过点D作DG⊥x轴于点G,交AC于点F,设D(t,),由S△ACD=S△CDF+S△ADF,用含t的代数式表示S△ACD,结合二次函数的性质求解;(3)除了∠BOC=∠CED外,△BOC与△CDE的对应关系不确定,所以需要分两类讨论,①当∠DCE=∠BCO时,可得CD∥AB,点C,D的纵坐标相等;②当∠DCE=∠CBO时,将△OCA沿AC翻折得△MCA,点O的对称点为点M,过点M作MH⊥y轴于点H,AN⊥MH于点N,利用相似三角形的性质和勾股定理求出点M的坐标后,再由直线CM与抛物线的交点列方程组求解.
详解:(1)∵直线与x轴.y轴分别交于点A.C,
∴A(4,0),C(0,2),OA=4,OC=2,
将A(4,0),C(0,2)分别代入中,
,解得.
∴.
(2)如图1,过点D作DG⊥x轴于点G,交AC于点F,
设D(t,),其中,则F(t,).
∴DF=-()=,
S△ACD=S△CDF+S△ADF
=
=
=
=
=.
∴当t=2时,S△ACD最大=4.
(3)设y=0,则=0,解得,,
∴B(-1,0),OB=1.
∵,,∴.
∵∠BOC=∠COA=90°,
∴△BOC∽△COA,
∴∠OCB=∠OAC,∴∠OCA=∠OBC.
①当∠DCE=∠BCO时,∠DCE=∠OAC,
∴CD∥OA,点D的纵坐标与点C纵坐标相等,
令y=2,则=2,解得,,
∴D1(3,2).
②如图2,当∠DCE=∠CBO时,∠DCE=∠OCA,
将△OCA沿AC翻折得△MCA,点O的对称点为点M,
过点M作MH⊥y轴于点H,AN⊥MH于点N,
则CM=CO=2,AM=AO=4,
设HM=m,MN=HN-HM=OA-HM=4-m,
由∠AMC=∠AOC=∠ANM=∠MHC=90°易证△CHM∽△MNA,且相似比,
∴AN=2MH=2m,CH=MN=2-m,
在Rt△CMH中,由勾股定理得:,解得,,
∴MH=,OH=,M(,).
设直线CM的表达式为y=kx+n,则,解得,
∴,
由,解得,,
∴D2(,).
综上所述,点D的坐标为D1(3,2).D2(,).
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【题目】如图,小明将一个正方形纸剪去一个宽为的长条后, 再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条,如果两次剪下的长条面积正好相等,那么剩下的白色长方形纸的面积为( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,在△AOB中,∠ABO=90°,OB=4,AB=8,直线y=-x+b分别交OA、AB于点C、D,且ΔBOD的面积是4.
(1)求直线AO的解析式;
(2)求直线CD的解析式;
(3)若点M是x轴上的点,且使得点M到点A和点C的距离之和最小,求点的坐标.
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【题目】学校近期举办了一年一度的经典诵读比赛.某班级因节目需要,须购买A、B两种道具.已知购买1件A道具比购买1件B道具多10元,购买2件A道具和3件B道具共需要45元.
(1)购买一件A道具和一件B道具各需要多少元?
(2)根据班级情况,需要这两种道具共60件,且购买两种道具的总费用不超过620元.
①请问道具A最多购买多少件?
②若其中A道具购买的件数不少于B道具购买件数,该班级共有几种方案?试写出所有方案,并求出最少费用为多少元?
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【题目】数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形完美地结合,研究数轴我们发现:若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b,则A,B两点之间的距离AB=|a﹣b|,线段AB的中点表示的数为.如:如图,数轴上点A表示的数为﹣2,点B表示的数为8,则A、两点间的距离AB=|﹣2﹣8|=10,线段AB的中点C表示的数为=3,点P从点A出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,同时点Q从点B出发,以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为t秒(t>0).
(1)用含t的代数式表示:t秒后,点P表示的数为 ,点Q表示的数为 .
(2)求当t为何值时,P、Q两点相遇,并写出相遇点所表示的数;
(3)求当t为何值时,PQ=AB;
(4)若点M为PA的中点,点N为PB的中点,点P在运动过程中,线段MN的长度是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出线段MN的长.
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【题目】4件同型号的产品中,有1件不合格品和3件合格品.
(1)从这4件产品中随机抽取1件进行检测,求抽到的是不合格品的概率;
(2)从这4件产品中随机抽取2件进行检测,求抽到的都是合格品的概率;
(3)在这4件产品中加入x件合格品后,进行如下试验:随机抽取1件进行检测,然后放回,多次重复这个试验,通过大量重复试验后发现,抽到合格品的频率稳定在0.95,则可以推算出x的值大约是多少?
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【题目】红心食品店想网购一种花生包装袋,在网上搜索了、两家网店(如图所示),已知这两家网店的这种花生包装袋质量相同,请看图回答下列问题:
(1)假若红心食品店想购买个花生包装袋,那么在、两家网店分别需要花多少钱(用含有的式子表示)?(提示:如需付运费时,运费只需付一次,即6元)
(2)红心食品店打算一次购买200个花生包装袋,选择哪家网店更省钱?
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【题目】如图1,直线DE上有一点O,过点O在直线DE上方作射线OC,∠COE=140°,将一直角三角板AOB的直角顶点放在点O处,一条直角边OA在射线OD上,另一边OB在直线DE上方,将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周,设旋转时间为t秒.
(1)当直角三角板旋转到如图2的位置时,OA恰好平分∠COD,求此时∠BOC的度数;
(2)若射线OC的位置保持不变,在旋转过程中,是否存在某个时刻,使得射线OA、OC、OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线?若存在,请求出t的取值,若不存在,请说明理由;
(3)若在三角板开始转动的同时,射线OC也绕O点以每秒15°的速度逆时针旋转一周,从旋转开始多长时间,射线OC平分∠BOD.直接写出t的值.(本题中的角均为大于0°且小于180°的角)
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心适当长为半径画弧,分别交AC、AB于点M、N,分别以点M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧交于点P,作射线AP交BC于点D,再作射线DE交AB于点E,则下列结论错误的是( )
A. ∠ADB=120° B. S△ADC:S△ABC=1:3
C. 若CD=2,则BD=4 D. DE垂直平分AB
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