Question

10．如图，AD是⊙O的直径，以AD为边作平行四边形ABCD，AB与⊙O交于点F，在边
BC上取一点E（含端点），连接DE，使△ADF∽△CDE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BF=3AF，且⊙O的面积与平行四边形面积之比为$\frac{π}{4}$，试求$\frac{CE}{CB}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的性质得出∠ADF=∠CDE，根据圆周角定理得出DF⊥AB，根据平行四边形的性质进而证得DF⊥CD，进一步证得∠ADF+∠EDF=90°，即可证得结论；
（2）根据⊙O的面积与平行四边形面积之比为$\frac{π}{4}$得出AD²=AB•DF，进一步得出AD²=4AF•DF，根据勾股定理得出AD²=AF²+DF²，从而求得DF=（$\sqrt{3}$+2）AF，由△ADF∽△CDE得出$\frac{AF}{DF}$=$\frac{CE}{DE}$，$\frac{DE}{DC}$=$\frac{DF}{AD}$由AD²=AB•DF得出$\frac{DF}{AD}$=$\frac{AD}{AB}$，即可得出$\frac{DE}{DC}$=$\frac{AD}{AB}$，由AB=DC，得出DE=AD=BC，从而得出$\frac{CE}{DE}$=$\frac{CE}{BC}$，所以$\frac{CE}{BC}$=$\frac{AF}{DF}$=2-$\sqrt{3}$．

解答 （1）证明：∵△ADF∽△CDE．
∴∠ADF=∠CDE，
∵AD是⊙O的直径，
∴DF⊥AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴DF⊥CD，
∴∠EDF+∠CDE=90°，
∴∠ADF+∠EDF=90°，
即∠ADE=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的面积与平行四边形面积之比为$\frac{π}{4}$，
∴$\frac{π（\frac{AD}{2}）^{2}}{AB•DF}$=$\frac{π}{4}$，
∴AD²=AB•DF，
∵BF=3AF，
∴AB=4AF，
∴AD²=4AF•DF，
∵AD²=AF²+DF²，
∴AF²+DF²-4AF•DF=0，
∴DF=（$\sqrt{3}$+2）AF，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$=2-$\sqrt{3}$，
∵△ADF∽△CDE，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{CE}{DE}$，$\frac{DE}{DC}$=$\frac{DF}{AD}$
∵AD²=AB•DF，
∴$\frac{DF}{AD}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{DE}{DC}$=$\frac{AD}{AB}$，
∵AB=DC，
∴DE=AD=BC，
∴$\frac{CE}{DE}$=$\frac{CE}{BC}$，
∴$\frac{CE}{BC}$=$\frac{AF}{DF}$=2-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，圆周角定理三角形相似的性质，勾股定理的应用，（2）求得DF=（$\sqrt{3}$+2）AF是解题的关键．