Question

如图，在平面直角坐标系中，以点A坐标为（6，0），点B坐标为（0，8），动点P从点A开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5个单位，直线l从与OA重合的位置开始，以每秒

4

3

个单位的速度沿OB方向平行移动，即移动过程中保持l∥OA，且分别与OB，AB边交于E，F两点，同时出发，设运动时间为t秒，当点P与点F相遇时，点P和直线l同时停止运动．
（1）线段AB所在直线的表达式为

 

；点F横坐标为

 

（用t的代数式表示）；
（2）设△APE的面积为S（S≠0），请求出点P和直线l运动过程中S与t的函数关系式；
（3）在点P和直线l运动过程中，作点P关于直线l的对称点，记为点Q，若形成四边形PEQF是菱形，请直接写出t的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据待定系数法求一次函数，F与E的纵坐标相同，即可求得F的横坐标；
（2）此题要掌握点P的运动路线，要掌握点P在不同阶段的运动速度，即可求得；
（3）此题需要分三种情况分析：点P在线段OA上，在线段OB上，在线段AB上；根据菱形的判定可知：在线段EF的垂直平分线上与x轴的交点，可求的一个；当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；当点P在线段BA上时，根据对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形求得．

解答：解：（1）设直线AB的解析式是y=kx+b，根据题意得：

b=8 6k+b=0

，
解得：

b=8 k=- 4 3

，
则直线AB的解析式是：y=-

4

3

x+8．
在解析式中，令y=

4

3

t，则-

4

3

x+8=

4

3

t，
解得：x=6-t；

（2）当0＜t≤2时（如图1），P在OA上，OA=3t，E的坐标是（0，

4

3

t），则S=

1

2

×3t•

4

3

t=2t²；
当

4

3

t=4（t-2），解得：t=3，
则2＜t＜3时，P和E都在OB上，且P在E的下边，则PE=

4

3

t-4（t-2）=8-

8

3

t，
则S=

1

2

（8-

8

3

t）×6=24-8t；
当3＜t＜4时，P和E都在OB上，且P在E的上边，且PE=4（t-2）-

4

3

t=

8

3

t-8，
则S=

1

2

（

8

3

t-8）×6=8t-24；
当t＞4时，当P在BA上时（如图2），则BP=5（t-4），作PM⊥y轴于点M．
则△BPM∽△BAO，

PM

OA

=

BM

BO

=

BP

AB

，
即

PM

6

=

BM

8

=

5(t-4)

10

，
解得：PM=3t-12，BM=4t-16．
当

4

3

t=8-（4t-16）时，t=

9

2

，即当t=

9

2

时，P和F重合，点P和直线l同时停止运动．
当4≤t≤

9

2

时，S_△AOE=

1

2

OE•OA=

1

2

×

4

3

t×6=4t，S_△BEP=

1

2

×（8-

4

3

t）×（3t-12）=-2t²+20t-48，S_△OAB=

1

2

×6×8=24，
则S=24-4t-（-2t²+20t-48）=2t²-24t+72；

（3）当P在OA上时，当P在EF的中垂线上时，能构成菱形，此时OP=

1

2

EF，即6-3t=

1

2

（6-t），解得：t=

6

5

；
当P在P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；
当P在AB上时（如图2），PM=

1

2

EF时，即3t-12=

1

2

（6-t），解得：t=

30

7

．

点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，还考查了菱形的性质与判定以及相似三角形的判定与性质，解题的关键要注意数形结合思想的应用，还要注意答案的不唯一性．