Question

【题目】如图1,已知菱形ABCD的边长为2，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点。点D的坐标为(，3),抛物线y=ax2+b(a≠0)经过AB、CD两边的中点.

(1)求这条抛物线的函数解析式；

(2)将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移(如图2),过点B作BE⊥CD于点E,交抛物线于点F,连接DF.设菱形ABCD平移的时间为t秒(0<t<3)

①是否存在这样的t，使DF=FB?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

②连接FC,以点F为旋转中心,将△FEC按顺时针方向旋转180°,得△FE′C′,当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中(包括边界)时,求t的取值范围.(直接写出答案即可)

Answer 1

【答案】（1）y=x2+3；（2）①t=或t= ；②t

【解析】

（1）根据已知条件求出AB和CD的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式；

（2）①由D（，3），则平移后坐标为D（+t，3），F（t，-t2+3）；则有DF2=（+t-t）2+（-t2+3-3）2；FB2=（-t2+3）2，再根据DF=FB，即可求得t；

②如图3所示，画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出的取值范围，确定限制条件是解题的关键

(1)由题意得AB的中点坐标为(，0),CD的中点坐标为(0，3)，

分别代入y=ax2+b得：，解得，

∴y=x2+3.

（2）①D（，3），则平移后坐标为D（+t，3），F（t，-t2+3）；

DF2=（+t-t）2+（-t2+3-3）2；FB2=（-t2+3）2

DF=FB，则（+t-t）2+（-t2+3-3）2=7（-t2+3）2

解得：t2=2或5，则t=或t=；

②如图3所示,依题意作出旋转后的三角形△FE′C′,过C′作MN⊥x轴，分别交抛物线、x轴于点M、点N.

观察图形可知,欲使△FE′C′落在指定区域内,必须满足：EE′BE且MNC′N.

∵F(t,3t2),∴EF=3(3t2)=t2,∴EE′=2EF=2t2，

由EE′BE,得2t23,解得t.

∵C′E′=CE=,∴C′点的横坐标为t，

∴MN=3(t)2,又C′N=BE′=BEEE′=32t2

由MNC′N,得3(t)232t2,解得t或t(舍去).

∴t的取值范围为：t.