Question

如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为圆⊙O上一点，PC=8，PB=4，AB=12，求证：PC是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：连接BC，OC，AC，证△PCB∽△PAC，推出∠PCB=∠A=∠ACO，∠CBA=∠OCB，根据圆周角定理求出∠ACB=∠ACO+∠OCB=90°，推出∠OCP=90°，根据切线的判定推出即可．

解答：
证明：连接BC，OC，AC，
∵PC=8，PB=4，AB=12，
∴

PC

PA

=

8

4+12

=

1

2

，

PB

PC

=

4

8

=

1

2

，
∴

PC

PA

=

PB

PC

，
∵∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴∠PCB=∠A，
∵OA=OC，OB=OC，
∴∠A=∠ACO，∠CBO=∠OCB，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，
∴OC⊥PC，
即PC是⊙O的切线．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，圆周角定理的应用，解此题的关键是求出OC⊥PC，题目比较好，难度适中．