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【题目】已知:如图,在ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB的中点,点E在AC上,点F在BC上,且AE=CF.

(1)求证:DE=DF,DE⊥DF;

(2)若AC=2,求四边形DECF面积.

【答案】(1)证明见解析(2)1

【解析】试题分析

1)如图,连接CD,由已知条件易得:∠A=∠DCF=45°CD=AD,结合AE=CF即可证得△ADE≌△CFD从而可得DE=DF∠ADE=∠CDF,结合∠ADE+∠EDC=90°即可得到∠EDF=90°从而可得DE⊥DF

2)由(1)中所得△ADE≌△CFD可得四边形DECF的面积=△ADC的面积,而△ADC的面积=△ABC面积的一半,结合△ABC是等腰直角三角形及AC=2即可求出所求面积了.

试题解析

1)如图,连接CD

∵AB=AC∠BAC=90°

∴△ABC是等腰直角三角形,∠A=∠B=45°

∵DBC中点,

∴BD=CDCD平分∠BCACD⊥AB

∴∠DCF=45°

ADECFD中,

∴△ADE≌△CFDSAS),

∴DE=DF∠ADE=∠CDF

∵∠ADE+∠EDC=90°

∴∠CDF+∠EDC=∠EDF=90°,即DE⊥DF

2∵△ADE≌△CFD

∴SAED=SCFD

∴S四边形CEDF=SADC

∵DAB的中点,

SACD=SACB=××2×2=1

∴S四边形CEDF=1

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