【题目】抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3)
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标
(3)直线l经过A、C两点,点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动,直线m经过点B和点Q,是否存在直线m,使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似?若存在,求出直线m的解析式,若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得 ,
解得 ,
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3;
(2)解:如图1,连接BC,过Py轴的平行线,交BC于点M,交x轴于点H,
在y=x2﹣2x﹣3中,令y=0可得0=x2﹣2x﹣3,解得x=﹣1或x=3,
∴A点坐标为(﹣1,0),
∴AB=3﹣(﹣1)=4,且OC=3,
∴S△ABC= AB×OC= ×4×3=6,
∵B(3,0),C(0,﹣3),
∴直线BC解析式为y=x﹣3,
设P点坐标为(x,x2﹣2x﹣3),
则M点坐标为(x,x﹣3),
∵P点在第四限,
∴PM=x﹣3﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+3x,
∴S△PBC= PMOH+ PMHB= PM(OH+HB)= PMOB= PM,
∴当PM有最大值时,△PBC的面积最大,则四边形ABPC的面积最大,
∵PM=﹣x2+3x=﹣(x﹣ )2+ ,
∴当x= 时,PMmax= ,则S△PBC= × = ,
此时P点坐标为( ,﹣ )
(3)解:如图2,设直线m交y轴于点N,交直线l于点G,
则∠AGP=∠GNC+∠GCN,
当△AGB和△NGC相似时,必有∠AGB=∠CGB,
又∠AGB+∠CGB=180°,
∴∠AGB=∠CGB=90°,
∴∠ACO=∠OBN,
在Rt△AON和Rt△NOB中,
∴Rt△AON≌Rt△NOB(ASA),
∴ON=OA=1,
∴N点坐标为(0,﹣1),
设直线m解析式为y=kx+d,把B、N两点坐标代入可得 ,解得 ,
∴直线m解析式为y= x﹣1,
即存在满足条件的直线m,其解析式为y= x﹣1.
【解析】(1)利用待定系数法即可得出结论;(2)先确定出点A的坐标,进而求出AB,再用三角形的面积公式求出三角形ABC的面积,最后求出PM,即可建立三角形PBC的面积的函数关系式,即可得出结论;(3)先判断出∠ACO=∠OBN进而得出Rt△AON≌Rt△NOB即可确定出N点坐标为(0,﹣1),最后用待定系数法即可得出结论.
【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,是斜坡AC上的一根电线杆AB用钢丝绳BC进行固定的平面图.已知斜坡AC的长度为4 m,钢丝绳BC的长度为5 m,AB⊥AD于点A,CD⊥AD于点D,若CD=2 m,则电线杆AB的高度是多少.(结果保留根号)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成,已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.
(1)若苗圃园的面积为72平方米,求x;
(2)若平行于墙的一边长不小于8米,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由;
(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时,直接写出x的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(1)在平面直角坐标系中,OABC的边OC落在x轴的正半轴上,且点C(4,0),B(6,2),直线y=2x+b将OABC的面积平分,则b=_______.
(2)在平面直角坐标系中,直线y=2x+3关于原点对称的直线的表达式为__________.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某校七年级四个班在植树节这天义务植树一班植树x棵,二班植树的棵数比一班的2倍少40棵,三班植树的棵数比二班的一半多30棵,四班植树的棵数比三班的三分之一多50棵.
求这四个班共植树多少棵用含x的代数式表示;
当时,四个班哪个班植树最多?
若四个班共植树266棵,一班植树多少棵.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在2016年“双十一”期间,某快递公司计划租用甲、乙两种车辆快递货物,从货物量来计算:若租用两种车辆合运,10天可以完成任务;若单独租用乙种车辆,完成任务的天数是单独租用甲种车辆完成任务天数的2倍.
(1)求甲、乙两种车辆单独完成任务分别需要多少天?
(2)已知租用甲、乙两种车辆合运需租金65000元,甲种车辆每天的租金比乙种车辆每天的租金多1500元,试问:租甲和乙两种车辆、单独租甲种车辆、单独租乙种车辆这三种租车方案中,哪一种租金最少?请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图①,点M为锐角三角形ABC内任意一点,连接AM、BM、CM.以AB为一边向外作等边三角形△ABE,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN.
(1)求证:△AMB≌△ENB;
(2)若AM+BM+CM的值最小,则称点M为△ABC的费马点.若点M为△ABC的费马点,试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数;
(3)小翔受以上启发,得到一个作锐角三角形费马点的简便方法:如图②,分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF,连接CE、BF,设交点为M,则点M即为△ABC的费马点.试说明这种作法的依据.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】请完成下面的解答过程.
如图,∠1=∠B,∠C=110°,求∠3的度数.
解:∵∠1=∠B,
∴AD∥ .( )
∴∠C+ =180°.(两直线平行,同旁内角互补)
∵∠C=110°,
∴∠2= °.
∴∠3= =70°.( )
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com