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【题目】抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3)

(1)求抛物线的解析式;
(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标
(3)直线l经过A、C两点,点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动,直线m经过点B和点Q,是否存在直线m,使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似?若存在,求出直线m的解析式,若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)解:把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得

解得

∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3;


(2)解:如图1,连接BC,过Py轴的平行线,交BC于点M,交x轴于点H,

在y=x2﹣2x﹣3中,令y=0可得0=x2﹣2x﹣3,解得x=﹣1或x=3,

∴A点坐标为(﹣1,0),

∴AB=3﹣(﹣1)=4,且OC=3,

∴S△ABC= AB×OC= ×4×3=6,

∵B(3,0),C(0,﹣3),

∴直线BC解析式为y=x﹣3,

设P点坐标为(x,x2﹣2x﹣3),

则M点坐标为(x,x﹣3),

∵P点在第四限,

∴PM=x﹣3﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+3x,

∴S△PBC= PMOH+ PMHB= PM(OH+HB)= PMOB= PM,

∴当PM有最大值时,△PBC的面积最大,则四边形ABPC的面积最大,

∵PM=﹣x2+3x=﹣(x﹣ 2+

∴当x= 时,PMmax= ,则S△PBC= × =

此时P点坐标为( ,﹣


(3)解:如图2,设直线m交y轴于点N,交直线l于点G,

则∠AGP=∠GNC+∠GCN,

当△AGB和△NGC相似时,必有∠AGB=∠CGB,

又∠AGB+∠CGB=180°,

∴∠AGB=∠CGB=90°,

∴∠ACO=∠OBN,

在Rt△AON和Rt△NOB中,

∴Rt△AON≌Rt△NOB(ASA),

∴ON=OA=1,

∴N点坐标为(0,﹣1),

设直线m解析式为y=kx+d,把B、N两点坐标代入可得 ,解得

∴直线m解析式为y= x﹣1,

即存在满足条件的直线m,其解析式为y= x﹣1.


【解析】(1)利用待定系数法即可得出结论;(2)先确定出点A的坐标,进而求出AB,再用三角形的面积公式求出三角形ABC的面积,最后求出PM,即可建立三角形PBC的面积的函数关系式,即可得出结论;(3)先判断出∠ACO=∠OBN进而得出Rt△AON≌Rt△NOB即可确定出N点坐标为(0,﹣1),最后用待定系数法即可得出结论.
【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.

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AD    .(  )

∴∠C+    =180°.(两直线平行,同旁内角互补)

∵∠C=110°,

∴∠2=    °.

∴∠3=    =70°.(  )

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